江苏省南京市2007-2008学年数学奥林匹克学校高二期末试题

1江苏省南京市2007－2008学年数学奥林匹克学校高二期末试题一、选择题（每题6分，共36分）1．若x1是lg2008xx的根，x2是x10x=2008的根，则x1x2=()A．2007B．2008C．2009D．20102．椭圆222211xyab与双曲线222221xyab10ab的离心率分别为1e、2e，以1a、2a、b为边长（其中1a为斜边）可构成直角三角形的充要条件是（）A．121eeB．22211eeC．21eeD．22122ee3．设函数f(x)＝3sinx＋2cosx＋1．若实数a、b、c使得af(x)＋bf(x−c)＝1对任意实数x恒成立，则acbcos的值等于()A．21B．21C．−1D．14．若实数x，y满足4x＋4y=2x＋1＋2y＋1，则u=2x＋2y的取值范围是（）A．0u≤2B．0u≤4C．2u≤4D．u≥45．抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则MFMO的最大值为（）A．1B．21C．332D．36．设正整数n≥2，f(x)是定义在有限集合A={1，2，…，n}上的单调递增函数，且对任何x，y∈A，都有()()()()fxfxfyfy，则（）A．n=2B．n=3C．n=4D．n≥5二、填空题（每题9分，共54分）7．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC△的顶点(40)A，和(40)C，，顶点B在椭圆221259xy上，则sinsinsinACB．8．设实数1xyz，，，记min{}(1)(1)(1)xyzMyzxzxyxyz，，，则M的最大值为．9．数列na中，16a，且11221nnnaaann（*nN，2n），则此数列的通项公式na．210．设(123)kkxyk，，，均为非负实数，则2212332008yyyx2232yx2221yx221123()yxxx的最小值为．11．已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间11，上有零点，则a的取值范围为．12．已知xxxfsin22sin)(，xxxg413)(，若对任意12(0)xx，，恒有mxgxf)()(21，则m的最大值为．三、解答题（每题20分，共60分）13．若正整数n能拆成k（k是正整数）个成等差数列且公差不为零的正整数的和，即：n=123,kaaaa(其中正整数123kaaaa，，，，依次成公差不为零的等差数列），则称n有一个k阶非平凡等差分拆，记作123knaaaa，，，，．并且规定：n的两个非平凡等差分拆12123123kknnaaaabbbb，，，，，，，，，是相同的分拆，等价于12kk且集合1123kaaaa，，，，与集合2123kbbbb，，，，相等．请研究并回答下面的问题：(1)有非平凡等差分拆n的最小正整数是多少？(2)试写出20的一个非平凡等差分拆，并说明20的非平凡等差分拆不超过5阶．(3)素数有非平凡等差拆吗?若有，试举一例，若没有，试说明你的理由．314．已知椭圆C的中心为原点，点F(10)，是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于AB，两点，且当直线l垂直于x轴时，65OBOA．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足ABP为正三角形．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．15．在△ABC中，ABBC，点I为其内心，M是边AC的中点，N是外接圆上的ABC的中点．证明：∠IMA=∠INB．INMBCA4答案一、BACDCA二、7．548．139．1(1)(21)nnan10．200811．372a或a≥112．23三、13．解：（1）6n；（2）11,6,1234562120,20246823456adkn，所以20的非平凡等差分拆不超过5阶．（3）设素数p有k阶非平凡等差分拆1233kpaaaakk*N，，，，，，，P=12311(1)2kaaaakakkdd*N，12()[2(21)]32kmmpmamdkm*N，，，，与p是素数矛盾．k=2m＋1，1()(21)()mpmamd*N，，同理，与p是素数矛盾．所以，素数没有非平凡等差分拆．14．解：（1）设椭圆C的方程为)0(12222babyax，则122ba．①当l垂直于x轴时，AB，两点坐标分别是2(1)ba，和2(1)ba，，∴2242(1,)(1,)1bbbOAOBaaa，则65124ab，即426ba．②由①，②消去a，得01624bb．∴212b或312b（舍去）．当212b时，232a．因此椭圆C的方程为123222yx．（2）设存在满足条件的直线l．①当直线l垂直于x轴时，由（1）的解答可知3622abAB，焦点F到右准线的距离为212ccad，此时不满足ABd23．因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．5②当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为)1(xky．由1232),1(22yxxky03612)26(2222kxkxk，设AB，两点的坐标分别为11()xy，和22()xy，，则1362221kkxx，26362221kkxx．]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB)]2636(4)136)[(1(222222kkkkk13)1(622kk．又设AB的中点为M，则221xxxM13322kk．当ABP为正三角形时，直线MP的斜率为kkMP1．23Px，∴22222222113313(1)11()2312(31)PMkkkMPxxkkkkk．当ABP为正三角形时，ABMP23，即)13(2)1(312222kkkk＝13)1(62322kk，解得12k，1k．因此，满足条件的直线l存在，直线l的方程为01yx或01yx．15．证明如图，过点M作外接圆的直径NP．则∠NBP=∠NAP=900，于是，P是AC的中点．故∠ABP=∠CBP，即BP是∠ABC的平分线．因此，I位于BP上．由于∠AIP是∠AIB的外角，所以∠AIP=∠BAI＋∠ABI=22BACABC．∠IAC＋∠CBP=∠IAC＋∠CAP=∠IAP，由此可得AP=IP．由于AM是Rt△NAP的高，所以APNPMPAP．从而IPNPMPIP，故△PMI∽△PIN．PINMBCA6因而∠PMI=∠PIN，显然∠IMA=∠PMI－900．又△BNI为直角三角形，所以∠INB=∠PIN－∠IBN=∠PIN－900=∠IMA．