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一：概念与定义第一章：函数与极限第二章：导数与微分第三章：微分中值定理及导数的运用二：数学公式1.x趋于0时的等价无穷小2.导数公式一:概念与定义第一章:函数与极限1.集合符号(∞∪n=1)An表示存在某个自然数k,使得x属于Ak。(∞∩n=1)An表示对所有自然数k,有x属于Ak。注:上下都是对A1到An一系列集合而言的,上表示x存在于某个集合中,下表示x存在所有集合中。2.领域设a属于R,对任意δ0,记数集U(a,δ)=﹛x｜|x-a|δ﹜=(a-δ,a+δ),称作以a为中心,以δ为半径的领域,当不需要注明半径δ时,常将它表示为U(a),简称为a的领域。另外(oU)表示a的去心领域。3.满射,单射与双射满射:f(a)=b;单射:若x1,x2属于A,x1≠x2推得出f(x1)≠f(x2);双射,既是满射又是单射注:4.双曲函数双曲正弦sinhx=（e∧x-e∧-x）/2双曲余弦coshx=（e∧x+e∧-x）/2双曲正切tanhx=sinhx/coshx=（e∧x-e∧-x）/（e∧x+e∧-x）5.数列极限的概念设有数列{an}，a是常数，若对任意ε0,总存在自然数N，对任意的自然数nN，有|an-a|ε，则称数列{an}的极限是a，或数列{an}收敛于a。注1：对“任意ε0”说明了{an}的无限性，“总存在自然数N，对任意的自然数nN”说明了{an}的极限性，“有|an-a|ε”说明了极限是a。注2：数列{an}极限的几何意义是：以a为中心，以任意ε为半径的开区间（a-ε，a+ε）或者说邻域内都包含了{an}“几乎”所有的项，在区间或邻域外至多能有N个点a1，a2,a3,a4......6.收敛函数的性质1）唯一性：若函数{an}收敛，则它的极限是唯一的}证明：设函数有两个极限a，b；分别写出极限定义；取N=max{N1,N2}，ε=min{ε1，ε2}；将｜a-b｜写成｜a-an+an-b｜2）有界性：若数列{an}收敛，则数列{an}有界，即存在M0,对所有nN,有an的绝对值≤M证明:设{an}极限为a，取定ε；写出极限定义；取M=max{a1到an的绝对值；a+取定ε}3）保序性：若an极限是a，bn极限是b，且ab，则存在N属于N,对所有nN,有anbn证明：取ε=（b-a）/2；写出定义，去掉绝对值；取N=max{N1,N2}4）四则运算法则加减乘除的极限等于极限的加减乘除加法证明：定义；取N=max{N1N2}；｜（an+bn）-（a+b）｜=｜（an-a）+（bn-b）｜，去掉绝对值乘法证明：...............................｜anbn-ab｜=｜（an-a）bn+a（bn-b)｜，去掉绝对值；由｜bn｜M除法证明：.............................存在N0属于N,对所有nN0,｜bn｜k；取N3={N0,N2}（注：N2对应bn的定义），对所有nN3，有｜1/bn-1/b｜=｜（bn-b）/bnb｜｜（bn-b）/kb｜｜1/kb｜·ε7.数列收敛判别法1）两边夹定理：设{an}，{bn}，{cn}是三个数列，若存在N属于自然数，对所有nN，有an≤bn≤cn，且an，cn极限均为l，则bn极限为l证明：an，cn定义，去掉绝对值；取Nmax；有l-εan≤bn≤cnl+ε2）单调有界定理：单调有界的数列必有极限注：数列{（1+1/n）∧n}收敛证明：展开多项式，第i项=C？·1/n=1/i！（1-1/n）（1-2/n)......(1-(i-1)/n),比较an与an+1推出严格增加；an1+1+2!+3!+4！+5！+......n!2+1/2+1/2∧2+1/2∧3+......1/2∧(n-1)推出{an}有上界数列{(1+1/n)∧n}收敛于e欧拉数3）柯西收敛准则：数列{an}收敛当且仅当对所有ε0,存在n属于自然数，对所有n，mN，有｜an-am｜ε证明必要性：｜an-am｜=｜an-a+a-am｜注：上述命题的否命题为数列发散的准则8.子数列若数列{an}收敛于a，则{an}的任意子数列{ank}也收敛于a证明：对所有ε0，存在N属于自然数，对所有nN，有｜an-a｜ε；对上述N，存在k0属于自然数，对所有kk0,有nkN(或当kN时，有nkkN）.于是对所有ε0,存在k0属于自然数，对所有kk0，有｜ank-a｜ε注：数列{an}收敛当且仅当奇数列{a2k-1}与偶数列{a2k}都收敛，且它们极限相等。充分性证明：由定义；取N=max{2N1,2N2}9.函数的极限1）右极限若对所有ε0，存在δ0，使所有x满足x-x0δ的，有｜f（x）-A｜ε2)函数极限的性质唯一性局部有界性局部保序性局部保号性（保序性特殊的一种，f（x）小于或大于0）四则运算3)函数极限与数列极限的关系(海涅定理）若f（x）极限为A，则对定义域内任意数列{xn}，若xn≠x0，且xn极限是x0，有f(xn)极限是A证明：对所有ε0，存在δ0，对所有x：0｜x-x0｜δ,有｜f9xn0-A｜δ；对任意数列{xn}，若xn≠x0，且xn极限是x0，对上述δ0,存在N属于自然数，对所有nN,有0｜xn-x0｜δ，从而，对所有nN,有｜f(x)-A｜ε4）函数极限存在判别法类似两边夹定理注：sinxxtanx5)柯西收敛准则对所有ε0,存在δ0,对所有x1，x2满足：0｜x1-x0｜δ,0｜x2-x0｜δ,有｜f(x1)-f(x2)｜ε10.无穷小（i）注：0是无穷小i+i=ii-i=iii=ii·在x0某去心邻域有界函数=i若fx的极限是A，且fx=A加gx，则gx是无穷小11.无穷大（a）aa=aa+在x0某去心邻域有界函数=a1/i=a11.无穷小量的比较（lima/b表示两函数商的趋于x0极限）1)a是b的高阶无穷小lima/b=0a=o[b]同阶无穷小lima/b=ma=O[b]等价无穷小lima/b=1a~bα阶无穷小lima/b∧α=m2)若a~blimac=A则limbc=ALima/c=B则limb/c=B12.连续函数的概念1）Lima=a,则称a在x0点连续2）若函数a在区间I上每一点都连续，则a在区间I上连续（证只需在x0上连续即可）3）若函数a在x0左连续等于右连续，则a在x0出连续注：若函数a的△x趋于0时，有△y趋于0，则该函数连续13.间断点及其分类1）可去间断点a=1(x≠1)2）第一类间断点（跳跃）X0a=-1;x≥0a=13)第二类间断点（无穷）A=1/x(振荡）A=sin1/x14.连续函数的性质1）基本性质加减乘除连续复合函数连续（两个条件推一）反函数连续（值域变定义域）初等函数在定义域内连续2）闭区间上连续函数（有界性）若函数在闭区间上连续，则在该区间上有界（最值性）........................................，则在该区间找得到最大值与最小值（零点定理）....................................，且f(a)f(b)0,则至少存在一点c，使得f(c)=0（介值性）........................................，对任意ε大于最小值小于最大值，总存在一点c，使得f(c)=ε第二章：导数与微分1.左右导数函数y=f(x)在x0处的导数存在的充分必要条件是y=f(x)在x0处的左右导数均存在且相等2.导数的经济意义边际成本（成本对产量求导）边际收益边际利润3.函数可导性与连续性的关系如果函数f(x)在x0处可导，则函数a在x0处连续。证明：lim△y=lim△y/△x·△x=lim△y/△x·lim△x=f’(x0)·0=04.函数的和差积商的求导法则积：证明：[y(x)g(x)}'=lim[y(x+Δx)g(x+Δx)-y(x)g(x)]/Δxy(x+Δx)g(x+Δx)-y(x)g(x)=y(x+Δx)g(x+Δx)-y(x)g(x+Δx)+y(x)g(x+Δx)-y(x)g(x)=[y(x+Δx)-y(x)]g(x+Δx)+y(x)[g(x+Δx)-g(x)]再求极限商：(f(x)ag(x)bf(x+h)cg(x+h)dlim函数h趋于0的极限）证明(a/b)’=Lim(c/d-a/b)/h=lim(cb-ad)/bdh=lim[（c-a)b-a(d-b)]/bdh=lim[(c-a)b/h-a(d-b)/h]/db=(a’b-ab’)/b∧25.反函数的求导法则反函数的导数等于直接函数导数的倒数证明：因为lim△y|△x趋于0=0所以[f(x)反函数]’=lim△y/△x|△x趋于0=lim1/△x/△y|△y趋于0=1/lim△x/△y|△y趋于0=1/f’(y)6.复合函数的求导法则证明：Dy/dx=f’(u)f’(x)ordy/dx=dy/du·du/dx因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu-0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu-0)α=0)当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx-0的极限，得dy/dx=lim(Δx-0)Δy/Δx=lim(Δx-0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx-0)Δy/Δx+lim(Δx-0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx-0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)-0则lim(Δx-0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)7.高阶导数1）定义d2y/dx2=d/dx(dy/dx)Dny/dxn=d/dx(dn-1y/dxn-1)注：求导方法一般是数学归纳法或有限列项法2）线性组合[∑cifi(x)](n)=∑cifi(n)(x)3)莱布尼兹公式4)[f(x)g(x)](n)=∑Cnkf(n-k)(x)g(k)(x)8.隐函数的导数隐函数求导法对数求导法9.由参数方程确定的函数的导数(a’=dx/dtb’=dy/dt)Dy/dx=dy/dt·dt/dx=dy/dt·1/dx/dt=b’/a’D2y/dx2=d/dx(dy/dx)=d/dt(dy/dx)·dt/dx=（b’’·a’-b’·a’’）/[a’]310.相关变化率用一个速率求出另一个相关的速率的问题叫做相关变化率问题11.函数的微分1）概述在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。2）定义设函数y=f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，注：o读作奥密克戎，希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX