数学实验报告

数学实验报告实验序号：四日期：2014年12月26日班级姓名学号实验名称求代数方程的近似根（解）问题背景描述：求代数方程f(x)=0的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当f(x)=0是一次多项式时，称f(x)=0为线性方程，否则称之为非线性方程.当f(x)=0是非线性方程时，由于f(x)的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间[a,b]，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．实验目的：1、了解用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线求方程近似根的方法2、掌握用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程，会编写简单的程序解决问题实验原理与数学模型：1、对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设f(X)在[a,b]上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．下面的方法可以求出该根：(1)令，计算；(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．若，则令，，若，则令，；,……，有、以及相应的．(3)若(为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有以上公式可用于估计对分次数．分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布2、迭代法1)迭代法的基本思想：由方程构造一个等价方程从某个近似根出发，令，可得序列，这种方法称为迭代法．若收敛，即，只要连续，有即可知，的极限是的根，也就是的根．当然，若发散，迭代法就失败．2）迭代法的加速：a)松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．迭代方程是：其中，令，试确定：当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明显的，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．b)Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的Altken公式：，是它的根，是其近似根．设，，因为，用差商近似代替，有，解出，得由此得出公式；；，这就是Altken公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛．3、牛顿(Newton)法（牛顿切线法）1)牛顿法的基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．记：是一次多项式，用作为的近似方程．的解为记为，一般地，记即为牛顿法公式.2)牛顿法的收敛速度：对牛顿法，迭代形式为：注意分子上的，所以当时，，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度。实验所用软件及版本：MATLAB2012主要内容（要点）：分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程的正的近似根，．(建议取．时间许可的话，可进一步考虑的情况．)实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：%对分法clcclearsymsxfx;a=0.01;b=3;t=0.5;fx=t*x-sin(x);x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);ifffx==0;disp(['therootis:',num2str(x)]);elsedisp('kakbkf(xk)')whileabs(ffx)0.0001&ab;disp([num2str(k),'',num2str(a),'',num2str(b),'',num2str(ffx)]);fa=subs(fx,'x',a);ffx=subs(fx,'x',x);iffa*ffx0b=x;elsea=x;endk=k+1;x=(a+b)/2;enddisp([num2str(k),'',num2str(a),'',num2str(b),'',num2str(ffx)])endfprintf('所求的解是：x=%f，迭代次数是：%d\n',x,k)%普通迭代法clcclearsymsxfxgx;t=0.5;gx=sin(x)/t;fx=t*x-sin(x);x=1.3;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);whileabs(ffx)0.0001;disp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(ffx)]);x=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);k=k+1;enddisp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(ffx)]);fprintf('所求的解是：x=%f，迭代次数是：%d\n',x,k)%松弛迭代法clcclearsymsfxgxxdgx;t=0.5;gx=sin(x)*2;fx=t*x-sin(x);dgx=diff(gx,'x');x=1.7;k=0;ggx=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);dgxx=subs(dgx,'x',x);disp('kxw');whileabs(ffx)0.0001;w=1/(1-dgxx);disp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(w)]);x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1;ggx=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);dgxx=subs(dgx,'x',x);enddisp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(w)]);fprintf('所求的解是：x=%f，迭代次数是：%d\n',x,k)%Altken迭代法clcclearsymsxfxgxt=0.5;gx=2*sin(x);fx=t*x-sin(x);disp('kxx1x2')x=1.5;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);whileabs(ffx)0.0001;u=subs(gx,'x',x);v=subs(gx,'x',u);disp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(u),'',num2str(v)])x=v-(v-u)^2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx,'x',x);enddisp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(u),'',num2str(v)])fprintf('所求的解是：x=%f，迭代次数是：%d\n',x,k)%牛顿法clcclearsymsxfxgx;t=0.5;fx=t*x-sin(x);gx=diff(fx,'x');x1=0.7;x2=1.6;x3=3.5;k=0;disp('kx1x2x3')fx1=subs(fx,'x',x1);fx2=subs(fx,'x',x2);fx3=subs(fx,'x',x3);gx1=subs(gx,'x',x1);gx2=subs(gx,'x',x2);gx3=subs(gx,'x',x3);whileabs(fx1)0.0001|abs(fx2)0.0001|abs(fx3)0.0001;disp([num2str(k),'',num2str(x1),'',num2str(x2),'',num2str(x3)]);x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1;fx1=subs(fx,'x',x1);fx2=subs(fx,'x',x2);fx3=subs(fx,'x',x3);gx1=subs(gx,'x',x1);gx2=subs(gx,'x',x2);gx3=subs(gx,'x',x3);enddisp([num2str(k),'',num2str(x1),'',num2str(x2),'',num2str(x3)])fprintf('所求的解是：x1=%f，x2=%f,x3=%f迭代次数是：%d\n',x1,x2,x3,k)实验结果报告与实验总结：1、实验结果%对分法kakbkf(xk)00.013-0.2453411.5053-0.2453421.5052.25250.3497531.87872.2525-0.01358141.87872.06560.1527651.87871.97220.06557561.87871.92550.02497471.87871.90210.005438681.89041.9021-0.004135891.89041.89630.00063524101.89331.8963-0.0017543111.89481.8963-0.00056056121.89481.89553.7089e-05所求的解是：x=1.895175，迭代次数是：12%普通迭代法01.3-0.3135611.92710.02637121.8744-0.01708631.90850.01077141.887-0.006918651.90080.004393761.8921-0.002811371.89770.001790481.8941-0.001143791.89640.00072918101.8949-0.00046547111.89590.0002969121.8953-0.00018947131.89560.00012088141.8954-7.7131e-05所求的解是：x=1.895400，迭代次数是：14%松弛迭代法kxw01.70.7951111.92530.5902521.8960.6101431.89550.61014所求的解是：x=1.895494，迭代次数是：3%Altken迭代法kxx1x201.61.99911.819311.87521.90811.887321.89531.89561.895431.89551.89561.8954所求的解是：x=1.895494，迭代次数是：3%牛顿法kx1x2x300.71.63.51-0.410921.97712.037520.0545641.8991.90523-0.000108591.89551.8955所求的解是：x1=-0.000109，x2=1.895501,x3=1.895548迭代次数是：32、实验总结在调试和运行的过程中，选取不同的等价方程和不同的初值，得到的结果不同，精确度也有相差异。但五种方法所得的数值相近，基本在误差允许范围内。从运行结果看，相对而言二分法和普通迭代法的收敛速度过慢，不是最佳方法。松弛迭代法和altken法的加速效果是明显的。牛顿法的收敛速度也较快，但需要得出原函数的导函数，在某些情况下是不可行的。故在这五种方法中，相较而言松弛迭代法和altken法更为可行。思考与深入：通过本实验加深了解了求方程实根的近似值的有效方法。学习并掌握了用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程。并认识到对于不同的题目，需要确定好求根区间，或给出某根的近似值，这对于结果的精度有很大影响。同时，深刻了解了对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线这五种方法的