江苏省南京市建邺高级中学高三数学第一轮复习《第16课时导数的应用2》学案2

用心爱心专心-1-第16课时导数的应用（二）【考点概述】会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．会利用导数解决某些实际问题。【重点难点】：求闭区间上函数的最大值、最小值；利用导数解决生活中的优化问题。【知识扫描】1.利用导数求函数)(xfy在],[ba上的最大值与最小值的步骤①求函数)(xfy在),(ba内的.②将函数)(xfy的各极值与比较，其中的一个是最大值，的一个是最小值.2.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：【热身练习】1.函数231()23fxxx在区间[－1，5]上的最大值是.2.函数1cos,,222yxxx的最大值是。3.（原创题）已知点P(2,2)在曲线y＝ax3＋bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，则函数f(x)＝ax3＋bx，x∈－32，3的值域为________．4.已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是.5.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为___________cm时，容器的容积最大.（选修1-1P79例1改编）【典例导航】【例1】设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取极值.（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[0,3]x，都有2()fxc成立，求c的取值范围.用心爱心专心-2-【变式训练】.已知函数321()22fxxxx．（Ⅰ）求()fx的极值；（Ⅱ）当[12]x，时，()fxm恒成立，求实数m的取值范围．【例2】(2010·南京市期末)已知函数323,fxaxbxxabR在点1,1f处的切线方程为20y．⑴求函数fx的解析式；⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx都有12fxfxc，求实数c的最小值；【例3】已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称.（1）求b的值；（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域.【例4】(2010·常州市期末)工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入Px（元）与当天生产用心爱心专心-3-的件数x（件）之间有以下关系：23183,01035201331,10xxPxxxx设当天利润为y元.⑴写出y关于x的函数关系式；⑵要使当天利润最大，当天应生产多少件零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）总结规律1.注意极值与最值的区别与联系.区别:极值是局部概念，只对某个领域有效，最值是全局概念，对整个定义域都有效；联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值（可取到的话）中的最大值或最小值.最值不一定是极值，极值也不一定是最值.2.要掌握将不等式的证明、方程根的个数判定、恒成立问题等转化为函数最值问题来处理.【应用提升】1.函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．2.函数y=xex在区间［-2,0］上的最小值是.3.若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为.4．已知32()26()fxxxmm为常数，在[2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为_______________。5.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为31812343yxx，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_______．6.函数cossinyxxx在3,22的最小值为.7.已知函数12)(23xxxxf．(1)求)(xf在0x处的切线方程；用心爱心专心-4-(2)求)(xf在区间]2,0[上的最大值和最小值．第16课时导数的应用（二）参考答案【热身练习】1.答案：3232.答案：31223.答案：[－2,18]4.答案：m≥32解析：因为函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－272.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32.5.答案：10解析：设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，则该容器的容积为V。32(902)(482)4(691080)Vxxxxxx，024x，2'12(46360)12(10)(36)Vxxxx，当010x时，'0V；当1024x时，'0V。所以V在(0,10]上是增函数，[10,24)上是减函数，故当10x时，V最大.【典例导航】【例1】解：（Ⅰ）2()663fxxaxb，………………..1分因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f….3分即6630241230abab解得3a，4b…………….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx…………7分当(0,1)x时，()0fx；当(1,2)x时，()0fx；当(2,3)x时，()0fx…9分所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc则当[0,3]x时，()fx的最大值为(3)98fc……………..11分因为对于任意的[0,3]x，有2()fxc恒成立，用心爱心专心-5-所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(,1)(9,)…………14分【变式训练】解：（Ⅰ）．由2'()320fxxx得，23x或1x，由2'()320fxxx得，213x，如下表x2()3，232(1)3，1(1)，'()fx+0—0+()fx222732极值极大极小当23x时，2227y极大，当1x时，23极小y。（Ⅱ）．由（Ⅰ）知,)(xf在区间2()3，和(1)，上递增,在区间2(1)3，上递减,∵2722)32(f，2)2(f。∴当[12]x，时，()fx最大值是2，若()fxm恒成立，须2m，∴m范围是(2)，。【例2】解：⑴2323fxaxbx．根据题意，得12,10,ff即32,3230,abab解得10ab所以33fxxx．⑵令0fx，即2330x．得1x．x22,111,111,22fx++fx2增极大值减极小值增2因为12f，12f，所以当2,2x时，max2fx，min2fx．则对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx，都有用心爱心专心-6-12maxmin4fxfxfxfx，所以4c．所以c的最小值为4．【例3】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c.因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，所以-26b=2，于是b=-6.（2）由（1）知，f（x）=x3-6x2+cx，f′（x）=3x2-12x+c=3（x-2）2+c-12.①当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值.②当c12时，f′（x）=0有两个互异实根x1,x2.不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2.当x＜x1时，f′（x）0，所以f（x）在区间（-∞,x1）内为增函数；当x1＜x＜x2时，f′（x）0，所以f（x）在区间（x1,x2）内为减函数;当xx2时，f′（x）0，所以f（x）在区间（x2,+∞）内为增函数.所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值.因此，当且仅当c12时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x22.于是g（t）的定义域为（2,+∞）.由f′（t）=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t.于是g（t）=f（t）=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t∈（2,+∞）.当t2时，g′（t）=-6t2+12t=6t（2-t）0,所以函数g（t）在区间（2,+∞）内是减函数.故g（t）的值域为（-∞,8）.【例4】解：⑴当010x时，2211(83)10028110033yxxxxx；当10x时，3252013311331()21002420yxxxxxx，22181100,010,,313312420,10,,xxxxNyxxxNx⑵设函数22181100,010,3()13312420,10,tttyhtttt①当010t时，2'81yt，令'0y，得9t。用心爱心专心-7-当09t时，'0y；当910t时，'0y。当9t时，max386y；②当10t时，321331'2yx，令'0y，得11t。当1011t时，'0y；当11t时，'0y。当11t时，max387y。*xN，综合①②知，当11x时，y取得最大值。故要使当天利润最大，当天应生产11件零件。【应用提升】1.答案：82.-1e3.答案：204．答案：－375.答案：9万件6.答案：7解：(1)143)(2xxxf,1)0(f,切点坐标)1,0(,切线斜率1)0(fk.)(xf在0x处的切线方程为xy1即01yx.(2)令()0fx，解得31x或1x,列表：x0)31,0(31)1,31(1)2,1(2)(xf＋0－0＋)(xf1↗极大值2731↘极小值1↗3因此)(xf在区间]2,0[上的最大值是3,最小值是1.