数学建模2010年B题.

与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模2010B真题分析1问题分析•重物在水中的运动会受到多方面因素的影响，这些因素可总结如下：•(1)重物的形状及材质。由于溃坝时具体情况不同，溃口的纵、横断面千差万别，而且都不是规则的矩形、梯形或V字形，因此封堵用重物的形状、大小，重量、体积、面积各不相同，不可能一模一样。它们都会直接影响到封堵用重物落在溃口后的运动过程和沉底后状况。•(2)水的流速和温度。溃坝处的流速是封堵溃口问题必须考虑的因素之一，水的流速大小会影响到重物在水中的运动轨迹。水具有流动性，是介于气态和固态物质属性之间的一种物质形态，具有分子的可流动性和体积不可压缩性两大特点。水分子在不停的无序运动，并且以水的温度所标示的气体分子的运动速度在运动。液体的粘滞系数和液体的温度有一定的关系。随液体分子运动速度的增加而减小。当水温升高的时候，随着水分子运动速度的增加，那么会使水的粘滞系数减小。因此，水的温度会对实验产生一定的影响。•(3)重物的投放高度。组件投放高度不同，其入水初速度就会不同，所以投放高度会直接影响到封堵溃坝口的效果。试验中，通过将重物试件重心置于不同的高度后释放，由于经过一段自由落体运动，重物试件获得一定入水初速度。高度不同，入水初速度不同，会影响到重物落水后的运动过程。•(4)重物的投放方式。重物投放方式不同，在水中受力情况亦不相同，这会导致封堵溃口试件在水中下沉过程中运动状态不同，从而影响堵口的效果。•(5)水的阻力。流体对运动物体的阻力，主要有粘性阻力、压差阻力和兴波阻力三种。•兴波阻力是行船时激起的水波的阻力,与此题无关;•在流体缓慢流过静止的物体或者物体在流体中运动时，流体内各部分流动的速度不同，存在粘滞阻力，粘滞阻力的大小与物体的运动速度成正比;•当流体运动遇到物体时，流体会被物体分开，从物体的不同侧面流过。如果流体具有一定的粘性，靠近物体的那部分流体的速度将减慢，在物体的后面一侧形成“真空”地带，离物体较远处的流体将向这个“真空”地带补充，出现湍流。此时，物体前后两部分流体内单位体积分子数不同，前后侧面受到流体的压力不同，使得物体受到流体的阻力，这种阻力称为压差阻力。压差阻力的大小与物体运动速度的平方成正比，即产生压差阻力的机制与粘滞阻力不同。粘滞阻力是物体表面处流体与物体相互作用的结果；压差阻力是物体前后面出现压力差的结果;•从本质上讲，压差阻力也是由粘滞阻力引起的。因为流体与物体之间存在粘滞阻力，才使得从物体侧面流过的流体不能立刻到达物体的后方，出现后方的“真空”、“尾流”，产生压力差。•液体的密度比较大，在液体中运动的物体受到压差阻力的影响占大部分，因此，本文可以考虑压差阻力的影响，忽略粘滞阻力对物体运动的影响。•（6）测量误差。由于本题中所用数据是依据重物下沉过程的录像中某个时刻的截图，显示在玻璃网格上的重物的重心横纵坐标值，由于水的折射及其它因素难免会存在一些误差，在具体分析中可不考虑，认为原始数据是较为准确的。2大实心方砖水中运动分析•方砖从被抛出到落入水中直到触底，中间的运动过程可分解为两段来分析。•方砖从抛出到落入水中之前，若不计空气阻力，可认为方砖在这段过程中做自由落体运动；从落入水中后到触底前，方砖受到多个力的作用，运动轨迹需要详细分析。下面分别分析这两段运动过程。•落水之前，方砖的自由落体运动可用公式来表示•(1)••(2)212hgt2vgh物•方砖落水后受到重力、水对它的浮力及水流阻力的作用，其运动轨迹可分解为水平和竖直两个方向的运动。其中在水平方向上，方砖受到水的推力（即水流阻力），这时方砖的控制运动方程可列为：•(3)•而在竖直方向上，方砖在水中受到向上的浮力和水流阻力及向下的重力，此时方砖的运动方程可列为•(4)22dxmFdt阻22G'dymFFdt阻浮物•由上面的分析可得物体在水中运动时受到水流的阻力，在流体力学中，水流阻力的计算公式如下：••(5)•重物受到的浮力为(6)•经过分析可知，可以利用Matlab对方砖落水后运动的数据进行拟合，模拟出其运动轨迹，然后对所得函数与原始数据进行拟合优度检验，检验模型是否满足实验要求。212Fvsc阻水FgV浮水物问题2分析及建模•重物在水中的运动会受到多方面因素的影响，要综合考虑各种因素是不太可能的，只有尽量把主要影响因素考虑在内，如重物投放高度及方式（平放、竖放、立放）以及水的流速，对单个物体在水中运动过程的分析可参考问题1中对大实心方砖的分析。•重物的运动过程分为落水前和落水后两个阶段，落水前重物只受重力的影响，对于在空气中的粘滞阻力可暂不考虑，因此可看作是自由落体运动；落水后重物的运动分解为水平与竖直两个方向的运动，水平方向重物受到压差阻力的作用而向前运动（在水中压差阻力对于物体运动影响较大，可不考虑粘滞阻力的影响），竖直方向重物受到重力、浮力及压差阻力的影响（粘滞阻力影响较小同样不予考虑）。•粘滞阻力的计算公式如下：•（8）•水平方向：•（9）•竖直方向：•（10）212Fvsc阻211112cmFvsa水阻222212mamggVvsc水物•可列方程组如下：••(11)••(12)21112scdvmdvvt1水水1222212dvmggVmvtscd2水物3问题3分析及建模•3.1模型误差分析•模型数据与实验数据比较,进行误差计算•3.2有效触底位置分析与建模•现实中发生溃坝溃堤时，投入溃口的重物落水后受到水流阻力的作用会向下游移动，为了使封堵用的重物落水后能够落到预想的位置，必须掌握掌握落水后的运动过程，在预定沉底位置的上游一定距离投放一定质量的重物。•为了解决这个问题，首先要把重物的运动过程分析清楚，由前两个问题的分析基本推导出了重物从被抛出到落入水中直至触底的运动过程，即从被抛出到入水前是做自由落体运动，到达水面时获得一定的入水速度。入水后运动可分为水平方向和竖直方向两个方向的运动。•在竖直方向上重物受到重力，重物做自由落体运动。入水后的重物初速度由公式（13）求出••（13）•在竖直方向上重物受到自身重力、浮力和水流阻力的作用，则重物有一个向下的加速度，表示为•（14）•而重物受到的水流阻力可由•（15）2vgh物1GFFam阻浮物物21Fsc2v阻水•得出，其中水流密度、水流速度及重物的特征面积均已知，水对重物的阻力系数可由前面的拟合得到。给定水的深度，则重物从被抛出到落水前的时间可由下面的公式求出•（16）•然后进行运动分析，由此求出重物从入水到触底所用的时间，这样竖直方向上的运动情况可知。2112vtath物水水水•然后进行运动分析，由此求出重物从入水到触底所用的时间，这样竖直方向上的运动情况可知。•在水平方向上，重物受到水的推力（即水流阻力）作用，则重物在水平方向的加速度为••（17）•则重物落水后的水平位移可得•（18）•由以上分析可推出，在封堵溃坝时如果要想投放重物后让重物在理想的有效位置触底，应该在距离理想的有效位置上游处投放重物。'2Fam阻物2212xat水问题4分析•根据流体力学相似原理，本题中所提及的小型试验满足了重力准则和欧拉准则。在所建立的模型中，主要考虑重力及压差阻力对重物在水中运动时的影响，水流阻力主要考虑压差阻力，粘滞力作用、表面张力和弹性力不起主要作用，因此，小型试验满足了重力准则和欧拉准则。•根据相似准则将小型试验及所建立的数学模型加以推广，关键问题是要使得模型水流和实际水流保持流动相似。流动相似是指两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系。模型水流和原型水流保证流动相似，应满足几何相似、运动相似、动力相似、初始条件和边界条件相似。几何相似是指模型和原型的全部对应线形长度的比值为一常数；运动相似是指满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小成比例；动力相似是指两个运动相似的流场中，对应空间点、对应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，方向相同、大小成比例。模型总结及评价•对于重物落水后运动过程的分析与建模是个比较复杂的问题，在实验过程中重物会受到多方面因素的影响，很难将各种因素综合考虑在内，只能抓住主要因素，忽略次要因素的影响。在与实际的联系中，由于很难使试验中水的流动与原型完全相似，而且定性准则数越多，小型试验的设计越困难，甚至根本无法进行。为了解决这方面的矛盾，在实际的小型试验中，一般只能满足某个或某些相似准则，忽略对过程影响比较小的相似准则，抓住问题的主要物理量，使问题得到简化。论文中的模型的建立依赖于小型实验得出的原始数据，可能与实际情况会有较大的偏差，也是不可避免的。为了得到更加准确的模型，还需要对实际的情况进行更加深入的研究和分析。