数学建模与数学实验习题

数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结第一章1.简述数学建模的一般步骤。2.简述数学建模的分类方法。3.简述数学模型与建模过程的特点。第二章4.抢渡长江模型的前3问。5.补充的输油管道优化设计。6.非线性方程（组）求近似根方法。第三章7.层次结构模型的构造。8.成对比较矩阵的一致性分析。第五章9.曲线拟合法与最小二乘法。10分段插值法。第六章11指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。13差分方程（组）的平衡点及稳定性。14一阶差分方程求解。15养老保险模型。16金融公司支付基金的流动。17LESLLIE模型。18泛函极值的欧拉方法。19最短路问题的邻接矩阵。20最优化问题的一般数学描述。21马尔科夫过程的平衡点。22零件的预防性更换。练习集锦1.在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P是成对比较矩阵31/52abPcdef，（1）确定矩阵P的未知元素。（2）求P模最大特征值。（3）分析矩阵P的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。2.在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P是三阶成对比较矩阵322P，（1）将矩阵P元素补全。（2）求P模最大特征值。（3）分析矩阵P的一致性是否可以接受。3.考虑下表数据(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。（2）用最小二乘法确定经验公式系数。4..考虑微分方程(0.2)0.0001(0.4)0.00001dxxxydtdyyxydt（1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0时的周期平均值。（3）计算0.1时，y的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？5考虑种群增长模型'()(1/1000),(0)200xtkxxx（1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k值。6.假设容积为V的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是3(mrs单位：）。（1）试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。7.假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？8.某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,ABC3个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A食堂分别有10%，25%的学生经常去B，C食堂就餐，B食堂经常分别有15%，25%的同学去x02468y0.802.055.2413.4234.36t02468X(t)2343130405503902A，C食堂就餐，C食堂分别有20%，20%的同学去A，B食堂就餐。（1）建立该问题的数学模型。（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。9.已知一阶差分方程100.80.3,0.6nnyyy。（1）求该差分方程平衡点。（2）求ny表达式。10.某种群至多只能活3岁，且按年观测的Leilie矩阵0230.400,00.70L（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？（2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？11.某人决定用10万元投资A、B、C、D四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。12.小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。（1）商业贷款的利率是多少？（2）分析金融机构的条件是否优惠。13.一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输500003m的货物，每天可供运输的货物数量如下：请建立该问题利润最大的优化模型（不需求14.沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。（1）对于最优方案，用表示,。（2）求最优取水口位置。15.（1）给出下图从点1到货物重量（吨）体积（3m/吨）每吨收费（元）1300010220215002025032500151504100018200(,0)Px(10,)Qy点7的邻接矩阵。（2）建立该问题最短路的优化模型。（3）给出该问题的最优结果。16.考虑下图所描述的最短路问题。（1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型。（2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。（3）给出从位置1到位置9的最短路。17某零件寿命X（单位：月）的分布函数为2140,0(),0,21,2tFttttt。零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。如果不存在，请说明理由。18.某零件寿命X为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1234567101296875798万元。（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。如果不存在，请说明理由。19..已知泛函1210(())[()('())],()|()[0,1],(0)0,(1)1JxtxtxtdtSxtxtCxx，给出该泛函极值的必要条件。20.在抢渡长江模型，如果假设流速沿离岸边距离的分布为2.5/0400400/4008002.5(1200)/8001200400()yyyyyvy米秒，米米2.5米秒，米米米秒，米米试用变分法推出人的游泳速度u（常数）、流速v、起游偏角0及游泳偏角所满足的欧拉方程。