数学建模优化模型.

Maxmin优化是人类认识世界和改善自身的重要内容认识世界：我们身边的许多事物都是大自然优胜劣汰的长期演化的产物，在长期的生存竞争中形成了优化的结构和运动特征。如鱼的体形鸟和蜜蜂的巢穴动物的肌肉、植物的叶片的形状蝶的飞行线路、鱼的游动轨迹等，从能量消耗、结构稳定和强度、效率等不同指标分析显现优化特征。因此，优化是深入认识世界的重要手段。自然界本身也在某些方面显现优化特征。最重要的是任意物体在宏观运动中都遵循“作用量最小”的自然规律。因此，我们观察到的自然现象如球的弹起轨迹水滴的下落时的形状改变….等一切运动现象都是优化的结果。当前，“作用量最小”原则是我们描述自然界运动的基本工具。优化是人类改善自身的重要手段节能：对能源使用的优化；规划：对管理效率的优化；最优控制：对运动系统效率、性能等的优化；设计、工艺、结构的优化….总之，人类的发展本身就是一个优化的过程。例如，工艺的改善的定量分析归结为工艺的优化；设计的改进的定量分析归结为设计的优化等。在中学和大学微积分中，我们学习过求函数的极值和条件极值问题。这是我们对简单问题优化的基本数学工具。下面讨论利用这些工具建模的几个例子1、存贮模型在商业活动中，需要批量订购商品。订购费用为其中c0是批量订购的一次性费用，c1是商品单价。批量越大，单位商品的费用越低。01Pccx商品购进后，有一个消化过程(销售或使用)。消化不掉的需要存放，因此形成存贮费用。批量越大，每天存贮费用越高。生产活动有类似的情况。批量生产费用为其中c0是批量生产的生产准备费用，c1是产品单位成本。批量越大，单位产品的费用越低。01Pccx上述问题称为存贮问题。建立数学模型以确定最佳订货周期和批量，是存贮问题所要解决的问题。两种问题的数量关系完全相同，下面只讨论商品的批量订货问题。产品生产后，有一个消化过程(销售或使用)。消化不掉的需要存放，因此形成存贮费用。批量越大，每天存贮费用越高。不允许缺货的存贮模型模型假设1.商品每天的需求量为常数r；2.一次性购货费为c0,每件商品单价c1，每天每件商品贮存费为c2；3.T天订购一次(周期),每次购买Q件，当贮存量为零时，Q件商品立即到来(不允许缺货)；4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。问题：r,c0,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。模型建立0tqTQrA=QT/2一个周期的总费用是购货费用和存贮费用的和购货费用:P=c0+c1Q无缺货假设：Q=rT平均每天的费用：0212ccPRCcrrTTT存贮费用:R=c2A=c2QT/2模型求解0dTdC022cTrc022crQrTc模型分析1、最佳周期长度与商品价格无关；2、0,cTQQTc,2QTr,允许缺货的存贮模型原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)。若贮存量降到零时仍有需求r,但不能立即到货，则出现缺货而造成损失。如果允许缺货，模型应如何修改？补充假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T1rTQ0qQrT1tAB一周期贮存费AcdttqcT2021)(一周期缺货费BcdttqcTT331)(2110123()22QTrTTCccQcc一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’每天的费用为2.生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响?模型分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，寻找最佳出售时机(决策变量)，使利润最大(目标)。建模及求解生猪体重w=80+rt出售单价p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t设生猪重量w，单价p，每天增加体重r，每天单价降低g，t天后出售，则届时利润：trtgttQ4)80)(8()(求t使Q(t)最大得到rggrt2404敏感性分析求出的生猪最佳出售时间t与参数r和g有关。而这两个参数来源于我们的估计和预测。参数的变化对结果的影响的大小称为结果对参数的敏感性。敏感程度的定义：结果t对参数r的敏感度记为其意义是结果t的增加率和参数r增加率的比。/(,)/ttStrrr参数变化的敏感程度的大小反映出问题或模型的稳定性。由于在实际问题中，所采集的参数往往有误差,当敏感程度较大时，必须考虑参数的微小变化带来的影响。当参数变化较小时，可以利用微分作为增量的近似。这时，参数的敏感度计算的近似公式为/(,)/ttdtrStrrrdrt生猪出售时机问题的解rggrt2404当r=2，g=0.1时，(,)3dtrStrdrt即如果生猪每天体重增加1%，则出售时间延迟3%。例3：森林救火当森林失火时，接到报警的消防队需要派出消防队员前去救火。派多少人合适呢？模型分析以森林失火造成的损失大小作为目标来优化救火人数。损失包括两部分：1、因扑火不及，烧掉林木而造成的损失；2、因派出消防队员而产生的支出。目标：总费用最少。由于地形、风力等的不确定，需要简化问题。模型假设：1、0tt1,过火面积B(t)的导数dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度)2、t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度)3、过火损失与过火面积B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费)4、每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3森林救火假设1的解释：假设1基于以下简化假设：火源向周围匀速蔓延，这样，到t时刻，森林过火区域为B(t)=(vt)2。面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.比例系数称为蔓延率。森林救火dtdBb0t1t假设1假设2t2xxbtt12,1tbxttt112220()tdBBtdtdt)(222212212xttbtxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(假设3、4模型建立森林救火目标函数——总费用)()()(21xfxfxC222111121322()ctctctxcxxx模型求解求x使C(x)最小0dxdC231221122ctctcxdtdBb0t1t2tx森林救火231221122ctctcx结果解释•/:火势不继续蔓延的最少救火人员数c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.c2xc1,t1,xc3,x为什么?森林救火例4：冰山运输背景•波斯湾地区水资源贫乏，淡水主要靠海水淡化，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。•专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水。•从经济角度研究冰山运输的可行性。建模数据准备1.日租金和最大运量船型小中大日租金(英镑)最大运量(米3)4.06.28.05105106107冰山运输2.燃料消耗(英镑/千米)3.融化速率(米/天)与南极距离(千米)船速(千米/小时)01000400013500.10.300.150.4500.20.6冰山体积(米3)船速(千米/小时)1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8冰山运输建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较。模型假设•航行过程中船速不变，总距离9600千米•冰山呈球形，球面各点融化速率相同•到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水冰山运输建模分析目的地水体积运输过程融化规律总费用目的地冰体积初始冰山体积燃料消耗租金船型,船速船型船型,船速船型,船速决策变量：船速，船型目标：每立方水的费用如何从离散数据中挖掘出有用的信息？冰山运输4000),1(40000),1(21dbuadbudar4.0,2.0,105.6251baa模型建立1.冰山融化规律船速u(千米/小时)与南极距离d(千米)融化速率r(米/天）r是u的线性函数；d4000时u与d成正比d4000时u与d无关.utd24航行t天utuuttuurt61000),4.01(2.0610000,)4.01(1056.13第t天融化速率01000400013500.10.300.150.4500.20.6urd冰山运输模型建立冰山体积变化规律tkktrRR10冰山初始半径R0，航行t天时半径冰山初始体积30034RV334ttRVt天时体积总航行天数313004334),,(tkkrVtVuV选定u,V0,航行t天时冰山体积313004334),(TttrVVuV到达目的地时冰山体积uuT400249600冰山运输1,6,3.0321ccc14334log)6(2.7]),,()[log(24),,(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2.燃料消耗1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8Vuq1燃料消耗数据q1(英镑/千米)q1对u线性,对log10V线性选定u,V0,航行第t天燃料消耗q(英镑/天)燃料消耗总费用TttVuqVuQ100),,(),(模型建立冰山运输3.运送每立方米水费用冰山初始体积V0的日租金f(V0)(英镑)uT400航行天数总燃料消耗费用拖船租金费用uVfVuR400)(),(00冰山运输总费用),(),(),(000VuQVuRVuS14334log)6(2.7),(31301010tkkTtrVuuVuQ模型建立冰山运输模型求解选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低求u,V0使Y(u,V0)最小u=4~5(千米/小时),V0=107(米3)，Y(u,V0)最小V0只能取离散值经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5106取几组(V0,u)用枚举法计算0000(,)(,)(,)0.85(,)RuVQuVYuVVuV冰山运输结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。大型拖船V0=107(米3)，船速u=4~5(千米/小时),冰山到达目的地后每立米水的费用Y(u,V0)约0.065(英镑)虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。冰山运输有约束的优化问题的一般数学描述为11min()..()0...()0()0...()0xmlnfstgghhxRxxxxx当变量个数和约束条件的个数较多时，像处理简单优化模型那样随意建模很难把问题处理好。因此需要新的建模和求解思路。这种规模较大的优化问题称为规划问题。规划问题的建模特点分类研究规范化建模和计算分离优化模型的分类数学规划模型线性规划非线性规划整数规划和混合规划动态规划网络优化变分模型连续动态优化线性规划模型的数学结构线性规划模型的一般形式为11min..Txcx