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佛山科学技术学院上机报告课程名称数学建模上机项目划艇比赛的成绩专业班级姓名学号一、问题提出赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇和八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状类似。现T.A.McMahon对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较，见表1第1至6列，发现比赛成绩与桨手数之间存在某种关系，于是建立了一个模型来解释这种关系。表1各种赛艇等等比赛成绩和规格艇种2000m成绩/mint艇长l/m艇宽b/m/lb0/wkgn艇种桨手数1234平均单人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3双人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7二、问题分析赛艇前进受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总质量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力。建模目的是寻找桨手数量与比赛成绩（航行一定距离所需时间）之间的数量规律。如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手与艇速之间的关系。注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的。为了分析所受阻力的情况，调查了各种艇的几何尺寸和质量，表1第7至10列给出了这些数据。可以看出，桨手数n增加时，艇的尺寸l，b及艇重0w都随之增加，但比值/lb和0/wn变化不大。若假定/lb是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。若假定0/wn是常数，则可得到艇和桨手的总质量与桨手数之间的关系。此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。三、模型假设1、各种艇的几何形状相同，/lb为常数；艇重0w与桨手数n成正比。这是艇的静态特性。2、艇速v是常数，前进时受的阻力f与2sv成正比（s是艇浸没部分面积）。这是艇的动态特性。3、所有桨手的体重都相同，记作w；在比赛中每个桨手的划桨功率p保持不变，且p与w成正比。假设1是根据所给数据作出的必要且合理的简化。根据物理学的知识，运动速度中等大小的物体所受阻力f符合假设2中f与2sv成正比的情况。假设3中w，p为常数属于必要的简化，而p与w成正比可解释为：p与肌肉体积，肺的体积成正比，对于身体匀称的运动员，肌肉，肺的体积与体重w成正比。四、模型建立（显示模型函数的构造过程）有n名桨手的艇的总功率np与阻力f和速度v的乘积成正比，即fvnp（1）由假设2,3,2svf，wp代入（1）式可得31)(snv（2）由假设1，各种艇的几何形状相同，若艇浸没面积s与艇的某特征尺寸c的平方成正比（2cs），则艇排水体积A必与c的立方成正比（3cA），于是有32As（3）又根据艇重0w与桨手数n成正比，所以艇和桨手的总质量'0wwnw也与n成正比，即nw'（4）而由阿基米德定律，艇排水体积A与总质量'w成正比，即'wA（5）（3）、（4）、（5）式给出32ns（6）将（6）式代入（2）式，当w时常数时得到19vn（7）因为比赛成绩t（时间）与v成反比，所以19tn（8）（8）式就是根据模型假设和几条物理规律得到的各种艇的比赛成绩与桨手数之间的关系。五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）为了用表1中各种艇的平均成绩检验（8）式，设t与n的关系为tn（9）其中，为待定常数，由（9）式''loglog,logtn（10）利用最小二乘法，根据所给数据拟合上式，得到0.1117.21tn（11）可以看出（8）式与这个结果吻合得相当好。模型程序：n=[1,2,4,8];t=[7.17,6.77,6.13,5.73];t1=[7.21,6.88,6.32,5.84];p=polyfit(log(n),log(t),1);p1=polyfit(log(n),log(t1),1);a=exp(p(2))b=p(1)a1=exp(p1(2))b1=p1(1)t1=a*n.^b;plot(n,t,'+',n,t1,'-')结果：a=7.2146b=-0.1114a1=7.2842b1=-0.1035