数学建模作业4优化模型-最优价格和产量的最佳安排

佛山科学技术学院上机报告课程名称数学建模上机项目优化模型-最优价格和产量的最佳安排专业班级姓名学号8一、问题提出问题1：某厂根据产品成本和销售情况，在产销平衡条件下（产品的产量等于市场的销售量），如何确定商品的最优价格，使获得利润最大。问题2：某厂生产一种产品有甲、乙两个品牌，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大。利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。按照市场规律，甲种品牌的价格1p固然会随其销量1x的增长而降低；同时乙品牌销量2x的增长也会使甲的价格有稍微下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，即：21109.035.2300xxp乙的价格2p遵循同样的规律，有21298.214.0480xxp2、成本与产量成负指数关系甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按该厂的实际情况进行大量调查，呈现为负指数关系，即有116381023.01xeq乙品牌的成本2q遵循同样的规律，有145942018.02xeq二、问题分析（1）问题1分析：由产销平衡知，产品的产量等于市场的销售量。而利润是销量收入和生产支出之差，于是确定商品的最优价格，使获得最大利润，就要找出价格和利润之间的关系。（2）问题2分析：要在产销平衡的情况下确定甲、乙的产量，使总利润最大，需要明确价格、成本、销量之间的关系，即根据该厂的实际情况，可以假设价格与销量成线性关系，成本与产量成负指数关系。三、模型假设（一）优化模型--最优价格的假设：1、产量等于销量（产销平衡），记作x；2、收入与销量x成正比，系数p即价格；3、支出与产量x成正比，系数q即成本；4、销量x依赖于价格p,)(px是减函数。5、进一步设0,,)(babqapx，即假设它是线性函数。（二）优化模型--产量的最佳安排的假设：根据该厂的实际情况进行大量调查，可做出以下假设：1、价格与销量呈现线性关系利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。按照市场规律，甲种品牌的价格1p固然会随其销量1x的增长而降低；同时乙品牌销量2x的增长也会使甲的价格有稍微下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，即：21211111xaxabp1b、11a、12a0,且11a12a乙的价格2p遵循同样的规律，有22212122xaxabp2b、21a、22a0,且21a22a2、成本与产量成负指数关系甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按该厂的实际情况进行大量调查，呈现为负指数关系，即有11111cerqx1r、1、1c0乙品牌的成本2q遵循同样的规律，有22222cerqx2r、2、2c0符号说明：),(21xxz表示总利润；1p、1q、1x分别表示甲的价格、成本、销量；2p、2q、2x分别表示乙的价格、成本、销量。四、模型建立（显示模型函数的构造过程）（一）优化模型-----最优价格利润是销量收入和生产支出之差，则设每件产品售价为p，成本为q,销量为x,则总收入与总支出分别为pxpX)(（1）qxpY)(（2）在市场竞争的情况下，销量x依赖于价格p,记0,,)(babpapx（3）则无论成本q与销量x是否相关，收入X和支出Y都是价格p的函数。利润)()()(pYpXpU（二）优化模型--产量的最佳安排由题设知，甲产品单件获利为11qp，乙产品单件获利为22qp，由产销平衡原理，所有产品的销量即为产量，则甲、乙两种产品总获利为22211121)()(),(xqpxqpxxz五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）（一）优化模型-----最优价格要使利润)(pU达到最大的最优价格*p,由0*ppdpdU得**ppppdpdYdpdX（5）再由每件产品的成本q与产量x无关，，将（1）-（3）代入（4）得))(()(bpaqppU（6）用微分法求得最优价格baqp22*（7）（二）优化模型--产量的最佳安排原实际问题转化为求),(21xxz的最大值，利用Matlab中的fminunc命令，求),(),(2121xxzxxy的最小值。为确定初始值，要先忽略成本，并令1p价格中的2x项的较小系数0.09和2p价格中的1x项的较小系数0.14等于0（因为它们对价格的作用较小，可忽略不计）。则确定初始值问题为转化为求121122(,)(3002.35)(4802.98)zxxxxxx的极值，可以求得130063.8322.35x，248080.5422.98x。则将其作为初始问题的初始解。先建立M-文件，命名为fun.m:functiony=fun(x)p1=300-2.35*x(1)-0.09*x(2);q1=38*exp(-0.023*x(1))+116;p2=480-0.14*x(1)-2.98*x(2);q2=94*exp(-0.018*x(2))+145;y=-(p1-q1)*x(1)-(p2-q2)*x(2)再建立chengxu.m文件：x0=[63.83;80.54];[x,fval]=fminunc('fun',x0)结果为：x=35.848154.7380fval=-1.0015e+004