数值分析历届考题03

数值分析历届考题03-04学年秋季学期一．简答题（每小题5分）1.数值计算中要注意哪些问题。答：第一、两个相近的数应避免相减。第二、绝对值很小的数应避免作除数。第三、注意选取适当的算法减少运算次数。第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。第五、注意算法的收敛性和稳定性。2.用迭代法求解非线性方程0)(xf时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确定初值0x。答：对于非线性方程0)(xf（其迭代格式为)(xgx），如果满足：（1）当],[bax时，],[)(baxg；（2）)(xg在],[ba上连续，且对任意的],[bax都有1)(Lxg。则有结论：对任意给定的],[0bax，由迭代格式)(1kkxgx，k=0,1,2,…产生的序列kx收敛于*x，即迭代收敛。可以用二分法来确定初值0x。3.用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。答：因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。4.矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。答：对于n阶可逆方阵A，正实数||A||||1A||称为A的条件数，记为cond(A)。条件数对于线性方程组Ax=b的影响如下：bbAcondxx)(，其中b为A精确时b产生的误差；AAAcondxx)(，其中A为b精确时A产生的误差。5.把下列二阶常微分方程的初值问题2)0(,1)0(1111yyxyxyxxy化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler方法。答：令)()()()(21xyxuxyxu则11)()()()(12221xxxuxxuxuuxu，其中2)0(1)0(21uu。所以用改进的Euler方法表示为：)1(1)(1)(2)(2)(iiiiiipxxuxuuhyy，)()(1xyxup，)()(2xyxup，)1(111)(1)(2)(2)(iiiiiicxxuuxuhyy，)(21)1(cpiyyy。二．（20分）给出数据表x012f(x)212f’(x)-1求一个满足插值条件的三次插值多项式，并写出余项公式。解：先求出满足函数值插值条件)()(2ixfxP，i=0，1，2的二次插值多项式)(2xP。ixf(x)一阶差商二阶差商102211-132211由牛顿插值公式：],,[))((],[)()()(2101010002xxxfxxxxxxfxxxfxP22)1(22xxxxx令))()(()()(21023xxxxxxAxPxH，其中A是待定常数，则))((22)(2101113xxxxAxxH，由已知条件1)(1xf，代入可得：1)21()01(1A；所以22)2)(1(22)(2323xxxxxxxxH。其插值余项为)2()1(!4)()(2)4(xxxfxR，其中)2,0(。三．（20分）给出数据表x0.10.20.40.5y10.80240.61740.53023用最小二乘法求拟合曲线xbay1（保留3位小数）。解：对于曲线xbay1，令yz1，xt1，得btaz。把x，y的数据转换为t，z的数据（取3位有效数字）：t=1/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00对于btaz，其法方程组为：414124141414iiiiiiiiiiizttbtaztba；其中：50.1941iit，25.135412iit，76.541iiz，08.2441iiizt数据代入后得法方程组为08.2425.1355.1976.55.194baba；解得0995.093.1ba。所以拟合曲线为xy0995.093.11。四．（15分）确定下列求积公式的系数1k，2k，3k，使公式成为Guass型求积公式11321)6.0()0()6.0()(fkfkfkdxxf。解：通过待定系数法：当1)(xf时，有3212kkk（1）当xxf)(时，有316.06.00kk（2）当2)(xxf时，有316.06.032kk（3）由此得到一个关于未知数1k，2k，3k的线性方程组：326.06.006.06.023131321kkkkkkk；解得55555556.088888889.055555556.0321kkk。五．（20分）证明：对任意参数t（1t）下列求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是c：))1(2,)1(2()1(),(1iiiiiiifthythxhftyxthfyy。证：令))1(2,)1(2(),(121thKythxfKyxfKiiii，则211)1(hKtthKyyii（1）对2K作泰勒展开得：)(),()1(2),()1(2),(212hOyyxfthKxyxfthyxfKiiiiii。代入到（1）式中：)(),(2),(2)1(3122111hOyyxfKhxyxfhhKtthKyyiiiiii由于)(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321hOyxyxfxyxfxxyxfhxyxhfxyxyiiiiiiiiii在iiyxy)(的条件下)()()()(33311hOhOhOyxyii。即对任意参数t，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3hO。六．（16分）证明：下列求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为)(3hO。)],(41),(47[)(211111iiiiiiiyxfyxfhyyy证：)),(,(),(11iiiiiiyxhfyhxfyxf)()],(),(),([),(2hOyxhfyyxfhxyxfyxfiiiiiiii)()],(),(),([!2),()()()(3211hOyxfyyxfxyxfhyxhfxyhxyxyyiiiiiiiiiiii在iiyxy)(的条件下将上述两式代入)],(41),(47[)(211111iiiiiiiyxfyxfhyyy中，可得：)](),(),(),([4),(2321hOyxfyyxfxyxfhyxfhyyiiiiiiiiii)]}(),(),(),([4),(23{2hOyxfyyxfxyxfhyxfhiiiiiiii)()],(),(),([2),(3hOyxfyyxfxyxfhyxhfyiiiiiiiii由于)(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321hOyxyxfxyxfxxyxfhxyxhfxyxyiiiiiiiiii在iiyxy)(的条件下)()()()(33311hOhOhOyxyii。所以上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3hO。05-06学年秋季学期一．简答题（每小题4分，共20分）1.设x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，则x+y，xy的绝对误差限，相对误差限，有效数字各是多少。答：54110211021)(x，43110211021)(y；30310211021)()()(yxyx，所以x+y三位有效，0007766.0)()(yxyxyxr；32510211021)()()(xyyxxy，所以x/y三位有效，001279.0)()(xyxyxyr2.同03-04学年秋季学期第一题33.在解线性方程组时，原始数据的误差对解的影响如何；对病态方程组可以采用什么方法处理。答：原始数据的误差对于线性方程组Ax=b的影响如下：bbAcondxx)(，其中b为A精确时b产生的误差；AAAcondxx)(，其中A为b精确时A产生的误差；其中cond(A)=||A||||1A||为条件数。对于病态方程组，可以使用迭代改善的方法处理。4.给出三个等距节点1x，2x，3x，及其相应的函数值，试导出二阶数值导数)(1xf的计算公式。答：以这三个点为节点的基本插值多项式为：))(())(()(2010210xxxxxxxxxl，))(())(()(2101201xxxxxxxxxl，))(())(()(1202102xxxxxxxxxl；求二阶导得：))((2)(20100xxxxxl，))((2)(21011xxxxxl))((2)(12022xxxxxl；设ihxxi0，i=0，1，2。则)]()(2)([1)()(2102121xfxfxfhxLxf。5.用数值方法求解常微分方程时，怎样选择合适的步长。答：先选取一个步长h，计算)2(1hiy和)(1hiy，如果，则将步长逐次减半，直到为止。如果对于初始步长h，就有，则尝试将步长逐次加倍，知道满足的最大步长。二．（16分）给出数据表x123f(x)2412f’(x)3求一个3次插值多项式；并证明其余项公式为)3()2)(1(!4)()(2)4(xxxfxR解：先求出满足函数值插值条件)()(2ixfxP，i=0，1，2的二次插值多项式)(2xP。ixf(x)一阶差商二阶差商1122242331283由牛顿插值公式：],,[))((],[)()()(2101010002xxxfxxxxxxfxxxfxP673)2)(1(3)1(222xxxxx令))()(()()(21023xxxxxxAxPxH，其中A是待定常数，则))((76)(2101113xxxxAxxH，由已知条件3)(1xf，代入可得：2)32()12(53A；所以61592)3)(2)(1(2673)(2323xxxxxxxxxH。由插值条件可知，1x是R(x)的二重零点，0x和2x是R(x)的单重零点，所以)())()(()(2210xxxxxxxKxR，其中K(x)是待定函数。令)())()(()()()(22103xxxxxxxKtHtftg，当)(xf的4阶导数连续时，反复用罗尔定理，可得!4)()()4(fxK，所以)3()2)(1(!4)()(2)4(xxxfxR。三．（16分）给出一组数据X1.001.251.501.752.00Y8.467.456.535.795.10用最小二乘法求拟合曲线xbaey1。解：对于曲线xbaey，两边取对数得：xbaylnln令yzln，xt1，amln，则可得到：btmz把x，y的数据转换为t，z的数据（取3位有效数字）：t=1/x0.5000.5710.6670.8001.00z=lny1.631.761.882.012.14对于btmz，其法方程组为：515125151515iiiiiiiiiiizttbt