数学建模实验答案_微分方程模型

1实验07微分方程模型（2学时）（第5章微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI模型）p136~138传染病模型2（SI模型）：0(1),(0)dikiiiidt其中，i(t)是第t天病人在总人数中所占的比例。k是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。i0是初始时刻（t=0）病人的比例。1.1画~diidt曲线图p136~138取k=0.1，画出idtdi~的曲线图，求i为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。参考程序：%传染病模型2（SI模型）的di/dt~i曲线图%文件名：p137fig2.m%λ=0.1clear;clc;fplot('0.1*x*(1-x)',[01.100.03]);x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)holdonplot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center');title('SI模型的di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');holdoff;提示：fplot,fminbnd,plot,text,title,xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。2若lims取[xminxmax]，则x轴被限制在此区间上。若lims取[xminxmaxyminymax]，则y轴也被限制。本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[01.100.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。返回自变量x在区间x1xx2上函数取最小值时的x值。本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1,'颜色线型数据点图标',x2,y2,'颜色线型数据点图标',…)本题可用holdon;%在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容,'HorizontalAlignment','字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。'HorizontalAlignment'为水平控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一水平线上。'字符串1'为水平控制属性值，取三个值之一：'left'，点(x,y)位于文本标识的左边。'center'，点(x,y)位于文本标识的中心点。'right'，点(x,y)位于文本标识的右边。格式2text(x,y,文本标识内容,'VerticalAlignment','字符串2')x,y给定标注文本在图中添加的位置。'VerticalAlignment'为垂直控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一垂直线上。'字符串1'为垂直控制属性值，取四个值之一：'middle'，'top'，'cap'，'baseline'，'bottom'。（对应位置可在命令窗口应用确定）本题可用text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center');35）坐标轴标注调用函数xlabel，ylabel和title本题可用title('SI模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');★程序运行结果（比较[138]图2）：（在图形窗口菜单选择Edit/CopyFigure，复制图形）00.20.40.60.8100.0050.010.0150.020.0250.03(di/dt)m0.5SI模型的di/dt~i曲线idi/dt1.2画i~t曲线图p136~138求出微分方程的解析解i(t)，画出i~t曲线（i(0)=0.15,k=0.2,t=0~30）（见[138]图1比较）。参考程序：%5.1传染病模型——模型2%文件名：p136fig1.m%di/dt=ki(1-i),i(0)=i0clear;clc;x=dsolve('Dx=k*x*(1-x)','x(0)=x0')%求微分方程的解析解，为符号表达式x0=0.15;k=0.2;%xi对应i，xi0对应i0，k对应λtt=0:0.1:30;%时间单位为天fors=1:length(tt)%x的表达式中没有点运算，按标量运算取值xxt=tt(s);xx(s)=eval(x);%给出xi0=0.2,k=0.2,t,求符号表达式xi的对应值end%xx为复数表示plot(tt,xx);4axis([03101.1]);title('图1SI模型的i~t曲线');xlabel('t（天）');ylabel('i（病人所占比例）');提示：1)求解微分方程dsolve]，见提示；2)画出i~t曲线（i(0)=0.15,λ=0.2,t=0~30）用for循环，函数length,eval,plot,axis,title,xlabel,ylabel。★程序运行结果（见[138]图1）：命令窗口中的结果：图形窗口中的结果（比较[138]图1）：05101520253000.20.40.60.81图1SI模型的i~t曲线t（天）i（病人所占比例）2.（编程）传染病模型3（SIS模型）已知传染病模型3（SIS模型）：0)0()],11([iiiidtdi其中，i(t)是第t天病人在总人数中所占的比例。λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。i0是初始时刻（t=0）病人的比例。σ是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。52.1画~diidt曲线图p138~139取λ=0.1，σ=1.5，画出如下所示的idtdi~曲线图。试编写一个m文件来实现。（在图形窗口菜单选择Edit/CopyFigure，复制图形）00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.500.511.522.53x10-3SIS模型的di/dt~i曲线idi/dt（注：p139图3）提示：用fplot函数画出idtdi~的曲线图；在上图上用plot函数画一条过原点的水平线；用title,xlabel,ylabel标注。★★编写的M文件和运行结果（见[139]图3）：%传染病模型3（SIS模型）的di/dt~i曲线图%文件名：p138fig3.m%λ=0.1,σ=1.5clear;clc;fplot('-0.1*x*(x-(1-1/1.5))',[00.4-0.00050.003]);holdon;plot([0,0.4],[0,0],':');title('SIS模型的di/dt~i曲线');6xlabel('i');ylabel('di/dt');00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.500.511.522.53x10-3SIS模型的di/dt~i曲线idi/dt2.2画i~t曲线图p138~139要求：求出微分方程的解析解i(t)。取λ=0.2,σ=3,t=0~40，画出如下所示的图形。试编写一个m文件来实现。7051015202530354000.10.20.30.40.50.60.70.80.91t（天）i（病人所占比例）图1SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)i(0)=0.21-1/σi(0)=0.9（注：p139图4）其中蓝色实线为i(0)=0.2时的i~t曲线（第1条）；黑色虚点线为过点（0,1-1/σ）的水平线（第2条）；红色虚线为i(0)=0.9时的i~t曲线（第3条）。提示图例标注可用legend('i(0)=0.2','1-1/¦σ','i(0)=0.9');★★编写的M文件和运行结果（比较[139]图4）：解法一：程序：%传染病模型3（SIS模型）的i~t曲线图%文件名：p138fig4.mclear;clc;%λ=0.2,σ=3，i(0)=0.2,x代表ix=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=0.2')%求微分方程的解析解，为符号表达式tt=0:0.1:40;%时间单位为天fori=1:length(tt)t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx);8holdon;plot([0,41],[1-1/3,1-1/3],'-.k');%λ=0.2,σ=3，i(0)=0.9x=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=0.9')tt=0:0.1:40;%时间单位为天fori=1:length(tt)t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx,':r');legend('i(0)=0.2','1-1/σ','i(0)=0.9');axis([04001]);title('图1SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)');xlabel('t（天）');ylabel('i（病人所占比例）');命令窗口的结果：图形窗口的结果：9051015202530354000.10.20.30.40.50.60.70.80.91t（天）i（病人所占比例）图1SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)i(0)=0.21-1/σi(0)=0.9解法二：程序：%传染病模型3（SIS模型）的i~t曲线图%文件名：p138fig4.mclear;clc;%λ=0.2,σ=3，x代表ix=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=x0')%求微分方程的解析解，为符号表达式tt=0:0.1:40;%时间单位为天forx0=[0.2,0.9]%i(0)=0.2,0.9fort=ttxx(2-(x0==0.2),round(t/0.1)+1)=eval(x);endendplot(tt,xx(1,:),'-b',[0,41],[1-1/3,1-1/3],'-.k',tt,xx(2,:),':r');legend('i(0)=0.2','1-1/σ','i(0)=0.9');axis([04001]);title('图1SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)');xlabel('t（天）');ylabel('i（病人所占比例）');命令窗口的结果：10图形窗口的结果：与解法一相同解法三：程序%传染病模型3（SIS模型）的i~t曲线图%文件名：p138fig4.mclear;clc;x=dsolve('Dx=-lam*x*(x-(1-1/si))','x(0)=x0')%求微分方程的解析解，为符号表达式tt=0:0.1:40;%时间单位为天lam=0.2;si=3;%λ=0.2,σ=3，x代表iforx0=[0.2,0.9]%i(0)=0.2,0.9fort=ttxx(2-(x0==0.2),round(t/0.1)+1)=eval(x);endendplot(tt,xx(1,:),'-b',[0,41],[1-1/3,1-1/3],'-.k',tt,xx(2,:),':r');legend('i(0)=0.2','1-1/σ','i(0)=0.9');axis([04001]);title('图1SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)');xlabel('t（天）');ylabel('i（病人所占比例）');命令窗口的结果：图形