数学备考初期要解决的19个问题

数学备考初期要解决的19个问题１－５1、市面或网上的考研数学复习资料很多：考纲、各类文章、真题、各阶段的模拟题，那么考研数学复习的基本依据是什么？答：基本依据是考纲和历年真题。考试大纲是命题依据，考生可以通过考纲获得考研的最基本也是最权威的信息，如考试范围和考试要求。而历年真题在所有试题中含金量最高，可以通过对真题的分析获得多方面的信息，如试题难度，核心考点等。2、能否简单概括考研数学的要求？答：我们依据什么来回答这个问题呢？我认为是对考纲和真题的分析。从考纲看，考研数学对考生有掌握程度的要求，分为“了解”、“理解”和“掌握”；从考研真题看，考研数学的要求如果用三个关键字概括，即：“基础”、“方法”和“熟练”。3、“基础”、“方法”和“熟练”具体指什么？答：考生可任选一道考研真题，该题可能有一定难度和综合性，但其分解之后的考点都在考纲规定的考点范围内，说明考研数学重基础。那么打牢基础是否能轻松应对考试呢？不够，还需要在此基础上总结方法。比如中值定理相关的证明题是令不少考生头痛的一类题。考生把基础内容（闭区间上连续函数的性质、费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）掌握好后（定理内容能完整表述，定理本身会证），直接做真题，很可能没什么思路，不知道朝哪个方向想。知识从理解到应用有一个过程：理解了不代表会用，应用还有个方向问题——在哪方面应用呢？这时真题的价值就显现出来了：真题是很好的素材，通过对历年真题的分析总结，可以对真题的具体应用有直观认识，对真题的命题思路有全面认识。换句话说，通过对真题“归纳题型，总结方法”可以让考生知道拿到题目往哪个方向想。以中值定理相关的证明这类题型为例，如果总结到位了，就能达到如下效果：拿到一道此类型的题目，一般可以从条件出发进行思考，看要证的式子是含一个中值还是两个。若是一个，再看含不含导数，若含导数，优先考虑罗尔定理，否则考虑闭区间上连续函数的性质（主要是两个定理——介值定理和零点存在定理）；若待证的式子含两个中值，则考虑拉格朗日定理和柯西定理。4、后面的时间如何安排，如何规划？答：一般来说，一个完整的考研复习周期为近一年的时间——从3月到12月（但是现在备考越来越提前，已经有2017考生现在就开始准备了。），可以划分为“考研四季”：考研之春（准备-6月），考研之夏（7-8月），考研之秋（9-10月）和考研之冬（11-12月）。前三季对应考研数学的三个要求——“基础”、“方法”和“熟练”，第四季的任务是模拟演练，查漏补缺。以上是大的规律性的东西。每位考生可以根据自身的情况制定自己的复习计划。5、“基础”、“方法”我相对完整地过了一遍，那接下来怎么达到“熟练”呢？答：考生可能对考研没有透彻的理解，但一定对高考有较全面的把握。而考研数学和高考数学有不少相似之处，那么大家如何达到高考数学的“熟练”的要求呢？多做题是有效的途径。做什么题？真题和模拟题。优先选真题，市面上有十几年的真题解析，网上也有一些资料。此外，假设考生考数学三，那么不光做数三的历年真题，数一数二，只要在数三的考试范围内的真题，也要做。最后，想要达到“熟练”，分享一句卖油翁的话，“无他，唯手熟尔”。６－１０6、刚做了两套测试卷，感觉不理想，“基础”、“方法”我好像都没掌握好，受打击呀。答：李开复说过“挫折不是惩罚，而是成长的契机”。测试成绩不理想，感觉受打击也是人之常情。但更积极的态度是将其看成完善、提升的机会。暴露出问题不可怕，甚至是必要的。我们还有相对充足的时间，完全可以有大幅度的提升。你这种情况也不少。那既然发现了自己基础不牢，方法也未完全掌握，那怎么做其实自己也明白了。数学是很“诚实”的学科，有的文科自己没有什么思路，还可以写点自己的认识，但数学没有思路，真的写不出什么来。所以从头做起，扎扎实实是必不可少的。当然，也不要忘记“考研之秋”的任务。7、我基础还可以，下个阶段有没有详细些的建议？只一个“熟练”就够了？答：对于基础不错，有志于考高分的考生，下个阶段的复习可以在以下三个方面下功夫：适当拓展难度，提升熟练度，提升准确度。要想在考场上游刃有余，只做与真题难度相当的题目是不够的。适当做点难度超过真题的模拟题，可以使考生再面对真题是感觉“简单”。也有考生问能否推荐模拟卷。大家可以上网上查查销量最好的模拟卷，得到市场认可的资料质量不会错。8、有时复习状态不好，您有什么好的建议？答：经验性的文章网上有很多，这里不赘述了。网上有很多关于备考心理调节的方法，大家可以根据自身情况作参考。9、复习全书要不要过一遍呢？很纠结。答：有不少质量不错的数学资料，考生不知如何取舍。我的看法是这样：可以按照权威性给资料排个序，以高数资料为例：“同济六版教材”—“复习全书”—各类模拟卷。这样可以按照资料的权威性来选择复习资料，过完教材过复习全书。书不在多，而在精。真正的高手未必用了很多资料，但很可能是把权威性的资料用的很精。比如教材，包含了考纲要求的基础知识，来龙去脉写得很详细，而且一些方法也蕴含在题目中，但需要挖掘整理。所以能把教材用精了的考生水平一定不低。再比如，“复习全书”经过了时间检验，质量不错。怎么用精？过一遍肯定不行，得过两、三遍。另外，题目最好自己动手做，而不是仅仅看。走笔至此，刘禹锡的《陋室铭》中的句子就在嘴边：山不在高，有仙则灵；水不在深，有龙则灵……10、我是工作之后再回来考研的，前面没有系统地复习，现在做题很吃力，要不要从基础的开始看呢？答：建议打牢基础。“基础不牢，地动山摇”。１１－１５11、碰到一道题，想了十多分钟想不出来，怎么办？答：不能一概而论，要视题和自己两方面的情况而定。从题的角度，可以看题的难度和重要程度。如果题目本身确实比较难，而自己目前基础较薄弱，可以先放一放，等后面功底深厚了，再来个“回马枪”；如果题目本身属于核心考点，那确实应该多花一些时间，两个、三个十分钟也值得。其他情况，考生可作相应处理。从自身的情况看，可以看基础和时间。如果自己基础较薄弱，那挑战难题就不大明智；如果时间充裕，多思考下难题倒是无妨，但如果时间紧，而还有比较基础的考点没搞定，那还是把难题放一放好。以上策略适用于备考，也适用于考场答题。考场上碰到一时想不出来的题目是正常的，建议先放一放，把能搞定的题目做完，再回过头来琢磨这道题。这样做的好处是：万一这道题做不出来，因为已经搞定大部分基础题，所以仍能得到一个可接受的分数；做出来，当然是锦上添花了。另外，搞定大部分基础题后，考生心理会“有底”，而在放松的状态下是有利于做出较难的题目的。有的同学做不出某道题，不愿意往下走，做下面的题会不舒服。我想提醒这类同学：我们毕竟是在考试，而不是做学问。考试的目的是在限定的时间内发挥出最佳水平，取得尽可能高的分数。所以考试是个“条件最值”问题，我们无法取到“无条件最值”那种理想解。而做学问应该花时间搞定每个点。考试是务实的，而做学问则带有理想主义色彩。12、我是“二战”考生，老是心里没底怎么办？答：为什么会心里没底？是担心遗漏考点，还是担心会的题做错，还是怕搞不定新题？如果担心遗漏考点，那么梳理体系是个不错的方法。找若干张空白的纸，可以按照章节，可以按照模块，系统梳理该部分的知识点、方法和题型。一趟梳理过后，自己心里会“有底”一些：考试要求有哪些，自己掌握了哪些，哪些掌握得不牢固。如果担心会的题做错，那得分析做错的原因。一般来说可以通过多练来解决。也不排除是心理作用。其实不只是考试，处理工作以及生活中的问题都需要自信。自信的人能充分甚至超水平发挥自己的水平。自信源自何处？充分准备和多练。所谓“尽人事而待天命”，“改变能改变的事，接受不能改变的事，用智慧分辨二者的不同”以及“积极进取，随意而安”，道理都是相通的。我们把自己能做的事做好，就可以把心放下了。13、概率中的矩估计和极大似然估计常考大题，这部分不大理解，但按照步骤也能做对，要不要花精力理解呢？答：这就像练武，内功没有长进，也没有融会贯通，但是记住了招式，这样行吗？也未必不行。因为招式也是武功的一部分，遇见水平较低的对手，按照招式走也常常有效。但这是多数习武者追求的吗？答案显而易见。对于备考而言，“理解”、“融会贯通”能提升考生的内功，而排除偶然因素后，内功深厚是考高分的必要条件。14、线性代数向量那部分的定理比较抽象，一定要会证明吗？答：向量部分有两大部分内容需要重点把握：一部分是向量的两个核心概念“线性相关”和“线性表出”与线性方程组的关系；另一部分是向量自身有一些定理，需要把握。前一部分对处理数值型向量组的“线性相关”和“线性表出”问题很有效——处理“线性相关”问题转化为齐次线性方程组有非零解的问题；处理“线性表出”问题转化为非齐次线性方程组的解的存在性问题。后一部分对考生的逻辑思维能力要求较高。定理内容要熟悉，大部分的定理要会证明。如“n（n=（2）个向量构成的向量组线性相关的充要条件是存在一个向量能由其余向量线性表出”，该定理有助于理解“线性相关”这个概念的含义，另外该定理的证明过程中包含着证明一个向量由一个向量组线性表出的思路：找一个包含这个向量和向量组的等式，说明该向量的系数不为0即可。15、线代既灵活又抽象，怎么把握呢？答：线性代数的知识结构是树形结构还是网状结构？不少同学回答网状结构。考生首先应该把考纲规定的每个考点掌握好，接下来完成“归纳题型，总结方法”的任务（可以自己把参考资料总结的方法消化吸收，也可以把老师讲的方法消化吸收），接下来就是形成体系和强化重难点了。如何形成体系呢？用核心的概念把相关的知识串起来是个不错的方法。比如n阶矩阵A可逆有多少等价条件？从行列式的角度是A的行列式不等于0，从向量的角度是A的列向量组或行向量组线性无关，从线性方程组的角度是Ax=0仅有零解或Ax=b有唯一解，从秩的角度是r（A）=n，从特征值的角度是A的特征值不含0，从二次型的角度是A的转置乘A正定。还有，要有寻根究底的精神。比如，我们讨论下秩这个让考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么？线性代数中有两个秩：一个矩阵的秩，一个向量组的秩。矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数。一个矩阵的秩为k意味着什么？要会“翻译”。“直接翻译”的结论是矩阵非零子式的最高阶数为k。只会“直接翻译”还不足以应对考题，还得会“间接翻译”：该矩阵存在k阶非零子式，并且该矩阵不存在k+1阶非零子式。再进一步思考：前半句话用秩的语言怎么描述？应为r（A）=k；后半句话用秩的语言怎么描述？应为r（A）=k。再思考：该矩阵不存在k+1阶非零子式包含几种情况？应有两种情况：（1）矩阵存在k+1阶子式，但k+1阶子式全为0；（2）矩阵不存在k+1阶子式（如矩阵是k阶方阵）。这样关于矩阵的秩的概念才理解到位了，但还需多做题才能达到熟练。类似地，我们可以对“向量组的秩”这个概念做层层剖析。首先，向量组的秩是向量组的极大线性无关组所含向量的个数。什么是极大线性无关组？顾名思义即个数最多的线性无关的子向量组。但是严格的数学定义必不可少。这个地方提到一个问题：有同学对于比较抽象的概念比较头疼，试图抛开严格的数学表述，而通过举例子等方式理解，这样可以吗？不行。举例子确实有助于理解，但代替不了严格的数学表述。其实，定义理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相关问题：如极大无关组是否唯一？如果不唯一，那它们是什么关系？还可以继续思考矩阵的秩和向量组的秩的关系。任给一个矩阵A，矩阵可以按列分块，也可以按行分块，这样我们可以得到三个秩——矩阵的秩，矩阵的列向量组的秩和矩阵的行向量组的秩。这三个秩是什么关系？结论是相等。这个结论不需要证明，会用即可。１６－１９16、总是感觉概率理解不透彻，不好把握。答：从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布（边缘分布和条件分布），矩估计和极大似然估计。其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。第一章随机事件