数学建模案例(上).

经济数学某饮料生产企业现在需要设计一批容积为V的圆柱形饮料包装盒，问应怎样设计才能使所用材料最省？7．1数学建模概述引例（一）：第7章数学建模案例７．１讨论：１．什么是最优设计２．易拉罐的形状如何３．材料跟易拉罐的什么有关rhS2hrV2rVS2?经济数学在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。请问，你能否根据自己的观察来研究易拉罐的形状和尺寸对其进行最优设计？7．1数学建模概述引例（二）：第7章数学建模案例７．１经济数学7．1．1数学建模简介数学的语言（图、表、式等等）、方法解决实际问题的全过程就是数学建模。7.1.1经济数学１．数学模型7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2由数字、字母或其它数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图象或算法（或：实际问题的数学描述）称为数学模型。例如（１）：甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。求全程长多少千米？小学生的方法：（千米）中学生的方法：设：相遇时甲行驶了千米，乙行驶了千米，甲乙相距a千米，则114)]1820(23[)1820(xyyxayxyx1096经济数学１．数学模型7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2（2）导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型经济数学2.数学模型分类7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2按变量的特性分有：连续型模型和离散型模型；确定性模型和随机性模型;静态模型和动态模型等等。例如：温度与时间的关系曲线就是一种连续模型；商场销售量与时间的关系就是一种离散模型。按数学方法分有：初等模型，微分方程模型，运筹模型，线性模型，非线性模型、网络模型，随机模型等等。经济数学2.数学模型分类7．1．2数学模型与数学模型的分类7.1.2按应用领域分有：人口模型，生态模型，交通模型，环境模型，经济模型等等。按对模型结构了解程度分有：白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理相当清楚；黑箱模型是指对机理很不清楚；而灰箱模型则有别于白、黑箱之间。经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2在日常生活里，将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，其中三条腿常同时着地（不在同一条直线上的三点确定一平面），如果第四条腿不着地，椅子未放稳，问能否稍作挪动，就可以使四条腿同时着地（即椅子放稳）？1.提出问题经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.21．椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，四条腿的连线呈正方形．2．地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面．3．椅子与地面相对关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地．2.模型假设经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.13.建立模型（一）建立模型的分析1．稍作挪动-如图7-12．椅子脚着地－即椅子脚与地面距离为零3．椅子放稳－结合１，２给出数学模型设,为非负连续函数，如果＝０且,那么必存在，使ABCDOA1B1C1D1A图7-1)(f)(g)()(gf0)0(f0)0(g00)()(00gf经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例3.建立模型7.2.1显然，，由假设（2）知，为的连续函数；由假设（3）知，由于三点着地，故对任意位置，和中至少有一个为零，即=0．我们不妨假设A、C处椅子两脚着地；B、D处有一脚未着地．于是有，．如果“稍作挪动”，即旋转一适当角，使那么就表明椅子四个脚着地，椅子放稳了．)(f)(g、0)(f0)(g)(f)(g)()(gf0)0(f0)0(g00)()(00gfABCDOA1B1C1D1A图7-1经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.13.建立模型ABCDOA1B1C1D1A图7-1（二）模型建立:将椅子放到直角坐标平面上，A、B、C、D为四条腿与地平面的接触点（或投影点），连线后构成正方形，是一个中心对称图形，如图7-1所示．1）“稍作挪动”．假设椅子中心投影O不变，仅作旋转，用角来描述椅子位置．图7-1表示正方形旋转角是正方形2）如何度量椅子脚着地与否？用椅子脚与地面的距离来度量，零距离表示椅子脚着地，非零距离则表示椅子脚不着地．3）如何度量椅子放稳否？这是整个模型的关键，我们需要找出椅子放稳与否的数学描述和表征．由上知，椅子脚离地面距离是的函数，又由于图形ABCD中心对称，我们可用以下和度量之，即设DCBA)(f)(g、)(fA、C处两椅子脚与地面的距离之和；)(gB、D处两椅子脚与地面的距离之和；经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.13.建立模型设,为非负连续函数，如果＝０且，那么必存在，使)(f)(g)()(gf0)0(f0)0(g00)()(00gf经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.14.模型求解2将椅子旋转，即正方形AC边转至边BD，BD边转至AC边．AC的初始情形时，有，；AC转至BD边位置后，有，令，则有0)0(f0)0(g0)2(f0)2(g)()()(gfh0)0()0()0(gfh0)2()2()2(gfh经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.14.模型求解因、为连续函数，故也为连续函数．由连续函数的介值定理知：存在，使，即有但，故有)(f)(g)(h)20(000)(0h)()(00gf0)()(gf0)()(00gf经济数学7．2．1椅子问题模型7．2数学模型案例7.2.15.解释和讨论，表明椅子四脚均着地，椅子放稳了．便是要挪动（旋转）的适当角度．由于地面相对平坦，所以不考虑平移，仅考虑旋转是允许的．0)()(00gf经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.21.提出问题一个销售企业，如何安排进货才能使库存保管费、进货费最省经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.22.模型假设（1）在计划期T（通常以一年为计划期）内对货物的需求量Q是确定的．（2）在计划期T内分次n次进货，每次进货量为，即进货是均匀的．（3）每件货物贮存单位时间的贮存费用及每次进货费用都为常数．（4）货物均匀投放市场．一般来说，货物先入库暂存，然后均匀提出．这时，库存货物量的最大值就是每次的进货量，随着时间推移均匀降至零，一旦库存货量为零，立即得到货物补充且进货瞬间完成．因此，货物的库存量的图像如图7-2所示．由此得，平均库存量为nQ1C2CnQ)(tqnQ21经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.23.建立模型TCnQE1121在以上假定条件下，总贮存费用为:nCE22总进货费用为:nCTCnQEEE212121总费用为:xxQn若每次进货件，则代入上式，得xQCTxCE2121经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.24.模型求解12212QECTCx令，得惟一驻点，又，所以惟一的驻点就是最小值点．故当每次进货数量为时，库存保管费、进货费之和最省．0E212CQxCT2320QECx212CQxCT经济数学7．2．2库存问题7．2数学模型案例7.2.25.解释和讨论从上述结果可以看出，每次进货数量与每次进货费用和需求量Q成正比,与每件货物贮存单位时间的贮存费用越大与计划期T成反比．当每次进货费用与需求量Q较大时，每次进货数量就要多；当每件货物贮存单位时间的贮存费用较大与计划期T较长时，每次进货数量要少．x2C1C2Cx1Cx经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.31.提出问题一种新产品面世，厂家和商家总要采取各种措施，促进销售．他们都希望产品的销售速度与销售数量做到必中有数，以便于组织生产，安排进货．如何用一个数学模型来描述产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产与销售．经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.32.模型假设（1）假设该产品是耐用品，可以长期使用，一般不会废弃和重复购置，价格相对稳定．（2）该产品刚进入市场，人们对其功能尚不熟悉，所以销售速度较慢．随着销售数量的增加，人们对于它的熟悉程度就会增加，销售速度也会增加，但这类产品销售一定数量时，因为人们不会重复购置，而使销售速度减慢．假设需求量有一个上界M，用表示时间t已售出的产品量，尚未购置的人数大约为M－．（3）设销售速度与销售量和M－的积成正比，比例系数为k．)(tx)(txdtdx)(tx)(tx经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.33.模型建立dtdx)(xMkx经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.34.模型求解tMktMkCeCMex1tMkCeMx1或kdtxMxdx)(kdtxMxdx)(C是任意常数．经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.2.35.模型分析和讨论因为22dtxddtdxkxxMdtdxk)()2(xMdtdxk显然，当时,=0,从而求得,使2Mx22dtxd0t2)(0Mtx由此我们可做如下分析：（1）当时，＞0，因此单调上升(2）当时，＞0，因此单调上升0tt)(tx)(tx0tt)(tx)(tx经济数学7．2．3新产品销售模型7．2数学模型案例7.25.模型分析和讨论)(tx因此,在时达到最大值．这表明销售量小于最大销售量的一半时，销售速度是不断增大的，销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销，其后销售速度开始下降．0tt