数学建模灰色预测模型

灰色预测模型数学建模灰色系统分析方法在建模中的应用CUMCM2003ASARS的传播问题CUMCM2005A长江水质的评价和预测CUMCM2006A出版社的资源配置CUMCM2006B艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题CUMCM2007A中国人口增长预测CUMCM2003ASARS的传播SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。CUMCM2003ASARS的传播（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。1、问题水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个CUMCM2005A长江水质的评价和预测重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。CUMCM2005A长江水质的评价和预测一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。CUMCM2005A长江水质的评价和预测CUMCM2005A长江水质的评价和预测请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。灰色系统分析方法9一灰色预测的概念；二灰色生成数列；五灰色预测实例四灰色模型GM；三灰色关联度分析；1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究迅速发展。1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1）灰色关联分析。（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测….等等。（3）灰色决策。（4）灰色预测控制。灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。一、灰色预测的概念（1）灰色系统、白色系统和黑色系统•白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。•黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。•灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。•灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。（2）灰色预测法•灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。•灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。（3）灰色预测的四种常见类型•灰色时间序列预测即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。•畸变预测即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。•系统预测通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。•拓扑预测将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。二灰色关联度与优势分析大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁多。我们经常要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键。例如人们关心的人口问题构成一个系统，影响人口发展变化的因素有社会方面的诸如计划生育、社会治安、社会生活方式等；有经济方面的诸如国民收入、社会福利、社会保险等；还有医疗方面的诸如医疗条件、医疗水平等……也就是说，人口是多种因素互相关联、互相制约的系统，对这些因素进行分析将有助于人们对人口的未来预测及人口控制工作。因素分析的基本方法过去主要是采用回归分析等办法，但回归分析的办法有很多欠缺，如要求大量数据、计算量大以及可能出现反常情况等。为克服以上弊病，本节采用灰色关联度分析的办法来做系统分析。灰色关联度一定是分析向量与向量之间以及矩阵与矩阵之间的关联度。既然计算关联度，一定是计算某一个待比较的数列与参照物（参考数列）之间的相关程度。2.1灰色关联度选取参考数列))(,),2(),1((},,2,1)({00000nXXXnkkXX其中k表示时刻。假设有m个比较数列),,2,1())(,),2(),1((},,2,1)({minXXXnkkXXiiiii则称)()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin)(0000kXkXkXkXkXkXkXkXkikiiikiikii（1）为比较数列iX对参考数列0X在k时刻的关联系数，其中),0[为分辨系数。一般来讲，分辨系数]1,0[，由（1）容易看出，越大，分辩率越大；越小，分辩率越小。式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联系数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出nkiiknr1)(1（2）为比较数列iX对参考数列0X的关联度。由式（2）容易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，即把过于分散的信息集中处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进行因素分析。在利用（1）和（2）计算关联度之前，我们还需要对各个数列做初始化处理。一般来讲，实际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在计算关联系数时，要求量纲要相同。因此要首先对各种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求所有数列有公共的交点。为了解决上述两个问题，我们对给定数列进行变换。给定数列))(,),2(),1((nXXXX，称)1()(,,)1()3(,)1()2(,1XnXXXXXX（3）为原始数列))(,),2(),1((nXXXX的初始化数列。应该指出的是，公式（1）中的)()(0kXkXi不能区别因素关联是正关联还是负关联，可采取下面办法解决这个问题。记nknknkiiinkkXkkX111)()(nknknnkk112/2)(则当njnisignsign，则iX和jX为正关联；当njnisignsign，则iX和jX为负关联。2.2优势分析当参考数列不止一个，被比较的因素也不止一个时，则需要进行优势分析。假设有m个参考因素，记为mYYY,,,21，再设有n个比较数列，记为nXXX,,,21。显然，每个参考数列对n个比较数列有n个关联度，设ijr表示比较数列jX对参考数列iY的关联度，可构造关联矩阵nmijrR)(。根据矩阵R的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影响，哪些因素起次要影响。起主要影响的因素称之为优势因素。再进一步，当某一列元素大于其他列元素时，称此列所对应的子因素为优势子因素；当某一行元素均大于其他行元素时，称此行所对应的母元素为优势母元素。如果矩阵R的某个元素达到最大，则此行所对应的母元素被认为是所有母子因素中影响最大的。下面我们考虑一个实际问题。某地区有6个母因素iY（参考数列）、5个子因素jX（待比较数列）为X1：固定资产投资Y1：国民收入X2：工业投资Y2：工业收入X3：农业投资Y3：农业收入X4：科技投资Y4：商业收入X5：交通投资Y5：交通收入Y6：建筑业收入其数据列于下表。19791980198119821983X1X2X3X4X5Y1Y2Y3Y4Y5Y6308.58310295346367195.4189.4187.2205222.724.62112.215.114.572025.623.329.23018.891922.323.527.66170174197216.4235.857.5570.7476.880.789.8588.567085.3899.83103.411.1913.2816.8218.922.84.034.264.345.065.7813.715.613.7711.9813.95根据表中的数据,易计算出各个子因素对母因素的关联度，从而得到关联矩阵为0.80160.76110.55700.81020.93550.68870.66580.52870.88540.80040.89100.85810.57860.57730.67490.67760.66340.56750.78000.73070.81130.77R420.56480.80380.92050.74320.76630.56160.60650.6319