数学建模第二讲.

第二讲初等模型2.1核军备竞赛2.2双层玻璃窗的功效2.3汽车刹车距离严峻的现实全球约有23300枚核弹头，部署于14个国家的111处设施。美国目前可以使用的核弹头共计9600多个俄罗斯在48处设施中部署有13000枚核弹头中国的核弹头数量约为240枚，分布于全国8-14处设施中（美国评估）2.1核军备竞赛美国总统奥巴马（左）和俄罗斯总统梅德韦杰夫签署新的核裁军条约北京时间2010年4月8日18时30分左右，新条约文件签署完成。目标是双方部署的核弹头数量不得超过1550枚洲际弹道导弹≤700枚潜基弹道导弹≤700枚挂载发射核武器的重型轰炸机≤700架削减目标须在生效后7年内完成漫长旅途中的一步美国的“核威慑战略”战略核力量拥有实施大规模破坏的绝无仅有的能力，它们应当承担一项威慑对方的特殊任务，使之怯于采取任何形式的战略核冲动。为了使威慑效力达到最大限度，它们必须能够在大规模的第一次打击之后生存下来，而且还能够破坏足够的对方目标，也就是摧毁对于决定战争与和平的国家领导人十分敏感的有效政府、社会和经济，从而消灭对方。前任参谋长联系会议主席，马克斯维尔·D·泰勒将军快速的竞争性的军力增长是与战争倾向密切相关的—核军备竞赛不能无限扩张。针对马克斯维尔·D·泰勒将军提出的美国“核威慑战略”，多少核武器是够用的？美国马克斯维尔·D·泰勒和海曼·G·里科弗将军都指出：当前的核武库裁减是有可能的。核军备竞赛的研究假设有两个国家，国家X和国家Y，致力一场核军备竞赛，而且，每个国家都采取如下的战略：友方战略：在大规模第一次核打击后生存下来，并给予敌人无法承受的打击（人口和工业中心）。敌方战略：进行大规模第一次核打击来摧毁友方核导弹力量（导弹基地）。模型假设核军备竞赛的图表模型在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。图表模型y=f(x)表示国家Y为了实现它的战略所需的最低导弹数，当时国家X拥有x枚导弹。类似地，x=g(y)表示国家X为了实现它的战略所需的最低导弹数。当x=0时y=y0，y0~国家Y的威慑值y0~国家X实行第一次打击后已经没有导弹，国家Y为毁灭国家X工业、交通中心等目标所需导弹数。设x=国家X拥有的导弹数，y=国家Y拥有的导弹数。下面，我们着手探讨曲线y=f(x)的性质。国家X增加自己的导弹，国家Y一定要增添附加的导弹。xyy0xyy00xyxfyy00)(y=f(x)乙安全线对于国家X增添的每一枚导弹，国家Y一定需要的附加导弹数量依赖于国家X导弹效力。可以验证，函数曲线y=f(x)一定落在如右图所示的限制线之间。为了更加准确地确定图像y=f(x)的形状，我们把直线A和B之间的区域分割成由直线x=y，x=2y，x=3y等定义的较小的子区域，如右图所示。直线A直线Bxyy0xyy00直线A直线Bx=yx=2yx=3y在每个子区域对y=f(x)进行近似。y=f(x)设国家Y残存率为s~国家X一枚导弹攻击国家Y一枚导弹，导弹未被摧毁的概率。情形1：xy国家X以x攻击国家Y的y个导弹中的x个,sx个导弹未摧毁，y–x个导弹未攻击。y0=sx+y–x情形2：x=y情形4：x=2y情形3：yx2yxssssyy21)2(0y=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2xy0y0x=yx=2y从图观察可知，曲线是分段线性的且有递降的斜率。xyy0直线A直线Byxasysyy/00x=ay,y=f(x)xy0y0x=yx=2y可以继续分析各种补充，如2yx3y的情形，不过，我们只是对定性信息有兴趣，所以最好研究一下，是否能够更加简单地确定曲线的一般形状。我们选择下面单一方程给出的曲线：xyy0直线A直线Bx1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P~平衡点(双方最少导弹数)国家X，情况完全对称。国家X和Y都满意的导弹水平yxasysyy/00a~交换比(甲乙导弹数量比)y0~威慑值s~残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡s变大，y减小，曲线变平a变大，y增加，曲线变陡xy0y0x=yx=2y函数y=f(x)的图形性能图形的各种性能依赖于三个要素：•国家X增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标国家Y威慑值y0变大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,国家X的被动防御也会使双方军备竞赛升级。),(mmyxP（其它因素不变）国家Y安全线y=f(x)上移模型解释平衡点PP´•国家X将固定核导弹基地改进为可移动发射架国家Y安全线y=f(x)不变国家X残存率变大威慑值x0和交换比不变x减小，国家X安全线x=g(y)向y轴靠近mmmmyyxx,xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)),(mmyxP国家X这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP´•双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x,y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值x0,y0变小率，交换比a变大。y0减小y下移且变平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PPa变大y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析?PP国家Y安全线y=f(x)?PP2.2双层玻璃窗的功效问题两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气。试描述热量通过窗户的传导过程，并与厚度为2d的单层玻璃窗相比较。2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2Q1Q2模型假设3.玻璃材料均匀，热传导系数为常数。2.短时期内室内温度T1与室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态。即沿热传导方向，单位时间内通过单位面积的热量是常数。1.热量的传播过程只有传导，没有对流(即假设窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的)。模型建立热传导定律：设厚度为d的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间内从温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与成正比，与d成反比，即,dTkQ其中k为热传导系数。dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb设双层玻璃窗传导的热量为Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,,)2(212111设单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,,22212121QQ)2(2111sdTTkQk1=410-3~810-3,k2=2.510-4,k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16dlhhQQ,18121模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。hQ1/Q24200.060.030.026结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁……损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大2.3汽车刹车距离•美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。•实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问题分析10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)车身的平均长度15英尺(=4.6米)。“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。问题一问题二刹车距离与速度有关制动器作用力、车重、车速、道路、气候……最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。常数刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性车速常数反应距离制动距离假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变vtd11Fd2=mv2/2Fm21kvvtdt1为反应时间21ddd且F与车的质量m成正比22kvd•反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计•利用交通部门提供的一组实际数据拟合k21kvvtd模型最小二乘法k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.322106.075.0vvkvvtd模型“2秒准则”应修正为“t秒准则”车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234车速（英里/小时）20304050607080刹车时间（秒）1.51.82.12.53.03.64.3车速与刹车时间表