数学建模第八讲层次分析法

第八讲层次分析法8.1层次分析模型问题分析问题:选择旅游地假期到了，现有桂林、黄山、北戴河三个旅游地供你选择，如何在三个目的地中选择？8.1层次分析模型影响决定的因素有景色、费用、居住、饮食，和旅途条件,不同的人对这些因素的关注程度是不同的，从而会选择不同的目的地。目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途用层次结构描述问题金属块银金铜C3C1C2C4C5引例：金银铜含量的确定有一块含金银铜的单位重量金属，分成5块。（1）每块的重量未知，5块重量两两之比已知；（2）每块中金、银、铜的含量未知，三种金属含量两两之比已知。求金属块中金、银、铜的含量。ijjiijnnijaaaaA1,0,)(模型建立及求解构造成对比较阵元素之间两两对比，对比采用相对尺度。设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiaCC:比较尺度当比较Ci和Cj对上层因素O的影响时如何选取aij？AHP(层次分析法)的创始人Saaty建议取aij的范围为1—9，1—1/9。1—9尺度aij的含义尺度aij含义1Ci与Cj的影响相同35792,4,6,81,1/2,…,1/9Ci比Cj的影响稍强Ci比Cj的影响强Ci比Cj的影响明显的强Ci比Cj的影响绝对的强上述相邻判断的中间值Cj与Ci的影响之比为aij的互反数1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A某人利用成对比较得到阵A是正互反阵同样方法构造第3层(方案层)对第2层的每个准则的成对比较阵，例如,12/15/1212/15211B,1383/1138/13/112B,13/13/13113113B,114/1113/14314B.1444/1114/1115B要由A确定C1,…,C5对O的相对重要性的权数。wAwnkjiaaaikjkij,,2,1,,,如果正互反阵A满足则称A为一致阵。•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。•A的任一列向量是对应于n的特征向量。•A的归一化特征向量可作为权向量。对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质特值近似算法一致性检验所谓一致性检验就是对A确定不一致的允许范围。已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵1nnCI定义一致性指标:CI越大，不一致越严重为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI—随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110定义一致性比率CR=CI/RI。当CR0.1时，通过一致性检验。Saaty的结果如下准则层对目标的权向量及一致性检验最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验。方案层对于准则Ck的权向量及一致性检验因此，w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T可以作为准则层（Ck）对目标层（O）的相对权重。求出相应的最大特征根、一致性指标和相应的归一化特征向量。第3层对第2层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验。组合权向量方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T0.2630.5950.0820.4290.6330.1660.4750.2770.2360.4290.1930.1660.0550.1290.6820.1420.1750.6680.0900.110Tn),,()2()2(1)2()2()3()3(第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pmnk),,()3()3(1)3(第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量],,[)3()3(1)3(n构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量对于3个层次的组合权向量更一般地，对于s个层次的决策问题，第k层对第1层(设只有一个元素)的组合权向量为w(k)=W(k)w(k-1),k=3,4,…s.其中W(k)是以第k层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵。w(s)=W(s)W(s-1)…W(3)w(2)。于是第s层对第1层的组合权向量为组合一致性检验在旅游问题中，第2层对第1层的成对比较矩阵A及第3层对第2层的成对比较矩阵B1,…,B5都通过了一致性检验，但B1,…,B5是独立作出的，还需检验其组合一致性。记B1,…,B5的一致性指标分别为CI1(3),…,CI5(3),则)2()3(5)3(1)3(),,(wCICICI反映了B1,…,B5对第1层的整体不一致程度。)2()3(5)3(1)3(),,(wRIRIRI相应地构造(3)(3)(3)0.001760.0030.10.58CICRRI第3层通过组合一致性检验*()(3)20.0160.0030.0190.1,CRCRCR我们认为整体通过了一致性检验。其中)3(5)3(1,,RIRI为随机一致性指标(相等)。第3层的组合一致性比率为第3层对第1层的组合一致性比率为层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）组合权向量可作为决策的定量依据。正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算有三种常用方法：幂法、和法、根法。和法——取列向量的算术平均14/16/1412/1621A例091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0286.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31列向量归一化算术平均11niiiAwnw精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010w089.0324.0587.0返回