数学建模论文

SARS传播模型的分析及对经济的影响静摘要：本文利用北京SARS疫情官方数据，采用BP神经网络模型进行预测分析，结果表明SARS疫情在5月上旬达到高潮期，大约5月底以后开始缓解，将在7月初得到基本的消除.在疫情爆发阶段，若延后5天后再采取严格的隔离措施，发现增加500个以上的病例，为此卫生部门应尽早采取控制措施.然后，利用北京市接待海外旅游人数采用乘积型季节性模型得出SARS影响北京市接待海外旅游人数大概缩减为正常时候的20%.由此得出对我国旅游产业破坏极大.关键词：SARS；BP神经网络模型；乘积型季节性模型；误差分析；MATLAB1引言SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome），严重急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎.从2002年11月16日起，SARS在我国广东首先爆发，300人被感染，5人死亡；到2003年4月11日，全球已有2781人被感染，111人死亡，病死率为4.0%，已扩散到五大洲的19个国家(地区)，占全球206个国家(地区)的9.2%[1].从历史比较看，SARS相比于其他恶性传染病，更具有发病急、传播快、病死率高、影响大的特点.而迅猛的经济全球化又加速了它的扩散和蔓延.北京大学中国经济研究中心和北京大学卫生政策与管理研究中心的研究报告预测我国对外旅游收入将减少50%-60%，损失为900亿元；全国的国内旅游收入将减少10%，损失500亿元；若再计算间接的经济影响，SARS对经济的影响总额将为2100亿元[2].SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性.为此，我们选取北京市SARS疫情官方数据（附录）及北京市对外旅游人数（附录）建立模型进行研究.本文的研究问题的思路和方法也为研究其他的传染病提供了方向.2数据符号说明根据疾病传播的特点及已给数据，为使模型的描述更为全面和符合实际，将洛阳师范学院本科毕业论文1北京市整个人群分为[3]易感者（健康者）St，SARS患者It，疑似病例Ht，治愈者（包括出院治愈者和因并死亡者），Rt和非控制带菌者Gt.Kt：t时刻易感者变为患者的感染率，=Kt当日健康者变为确诊人数总正常人数；rt：t时刻SARS患者的治愈率（包括死亡）；+=--rt当日死亡人数当日出院人数当日累计确诊病例数当日死亡累计当日出院累计；1pt：t时刻疑似病例变为确诊病例的转化率，1=pt当日疑似病例转为确诊病例数现有疑似病例数；2pt：疑似排除率，即2=pt当日排除疑似病例数现有疑似病例数；:ett时刻易感者变为疑似病例的转化率，即=et当日新增疑似病例数总正常人数；控制参数k：每个非控带菌者被收治前平均每天感染人数；i：被控带菌者感染的人中的可控比率；j：非控带菌者每天被收治的比率；jx：神经元的输入；jy：神经元的输出；：步长调整的因子；3基于SARS的统计分析我们将人群分为五大类，首先采用计算过程较简便且对疫情传染规律的预测具有较高准确率的BP神经网络模型.最后以北京入境旅游人数所受影响作为出发点采用乘积型季节性模型了解SARS对我国经济影响.3.1BP神经网络模型理论及构造神经网络的B-P算法(back-propagationtrainingalgorithm)[4]：洛阳师范学院本科毕业论文2多层感知器由输入层、隐含层(内部层)和输出层组成，隐含层可以是一层或多层.BP算法把网络的学习过程分为正向传播和反向传播两种交替过程.如果其中正向传播输出的误差平方和达不到预期的精度，则沿误差的负梯度方向修正各层神经元的权值和阈值，如此反复，直至网络全局误差平方和达到预期精度.输入层中任一神经元的输出为输入模式分量的加权和.设某一层中任一神经元的输入为jx，输出为jy，与这一层相邻的低一层中任一神经元i的输出为iy.则有：jjiiixwy(1)jyfx(2)式(1)，(2)中jiw为神经元j与神经元i之间的连接权，xf为神经元的输出函数，取为S函数，即：01'1exp/jjjjyfxxh(3)式中jh为神经元j的阈值，它影响输出函数水平方向的位置，0用来修改输出函数的形状.设输出层第k个神经元的实际输出为ky，输入为kx，与输出层相邻的隐含层中第j个神经元的输出为jy，ky和kx分别为：kkjjjxwy(4)kkxfy(5)对于一个输入模式px，若输出层中第k个神经元的期望输出为pko实际输出为pky则输出层的输出方差为：kpkpkpyoE221(6)若输入N个模式，则网络的系统均方差为：pppkpkpkENyoNE1212(7)权值的修改应使系统方差最小.因此，kjw应沿pE的负梯度方向变化.也就是说，当洛阳师范学院本科毕业论文3输入px时kjw，的修正量kjpw，应与kjpwE/成正比，即：kjkkpkjpkjpwxxEwEw(8)jpipjkjkjkjkyy(9)令kppkxE/，由式(5)和式(6)得：kpkpkkpkpkppkxfyoxyyE(10)又由式(2)和式(3)得：pkpkhxkkyyexxfkk1110/(11)因此有：pkpkpkpkpkyyyo1(12)pjpkkjpyw(13)对于与输出层相邻的阴含层中神经元j和比该隐含层低一层中的神经元i，权值训jiw的修正量仍应为：pipijijjpjipjipywxxEwEw(14)kpjpjkjpkpjpjpipjpipjpjppjyywyyyExyyExE11(15)如式(12)和式(15)所示，输出层中神经元的输出误差反向传播到前面各层，对各层之间的权值进行修正.B-P的具体算法[5]：1)神经元阈值初始化，给所有权值和阈值以在(0，1)上分布的随机数；2)输入样本模式，指定输出层各神经元的期望输出值mooo,,,21；3)依次计算每层神经元的实际输出，直到计算机输出层各神经元的实际输出洛阳师范学院本科毕业论文4.,,,21myyy，各神经元的实际输出根据式(3)计算；4)修正每个权值.从输出层开始，逐步向前递推，直到第一隐含层.递推公式如下：ijjijijijiytwtwtwtw1(16)式中是步长调整的因子，10.如果神经元j是输出层一个神经元，则j由公式(12)计算；如果神经元j是隐含层的一个神经元，则j由公式(15)计算.如果权值按式(17)修正，收敛会更快，且权值会平滑的变化，即：11twtwtwtwtwjijijijiji(17)式中是平滑因子，10.若把神经元阈值当成一个权值，相应的输入模式增加一个分量，则阈值可用调整权值的方法调整.5)从2)循环执行，直到权值稳定为止.首先建立SARS传染病网络模型，图3-1为7个神经元的神经网络模型.采用7个神经元的两层前向神经网络来预测与分析SARS传染病的流行趋势.输入层为一个神经元，输入变量为天，考虑到疫情发展情况与)(tk：易感染者变为患者的感染率，)(tr：SARS患者的治愈率，)(1tp：疑似病例变为确诊病例的转化率，)(2tp：疑似排除率，)(te：易感染者变为疑似病例得转化率，这五个因素有关所以设隐含层为5个神经元，输出层为一个神经元.输出变量为SARS传染病每天的已确诊病例累计、现有疑似病例、死亡累计、治愈出院累计等.图3-17个神经元的神经网络模型1234567洛阳师范学院本科毕业论文5因为神经网络的BP算法的输出函数为S函数，因此输出值在0与1之间.所以在用上述神经网络模型对SARS传染病的各参数进行模拟学习时，需先将各参数单位化，然后在用神经网络的BP算法对各参数进行学习，修正权值，直到权值稳定为止.然后，利用MATLAB软件[6]画出已确诊病例累计数，现有疑似病例数，死亡累计例数和治愈出院累计例数随时间变化图像.020406080050010001500200025003000+为数据真实值，o为模型预测值t/d已确诊累计病人数0204060-20002004006008001000120014001600+为数据真实值，o为模型预测值t/d现有疑似病例数图3-2已确诊病例累计数随图3-3现有疑似病例数随时间变化图像时间变化图像洛阳师范学院本科毕业论文602040608020406080100120140160180200+为数据真实值，o为模型预测值t/d死亡累计人数020406005001000150020002500+为数据真实值，o为模型预测值t/d治愈出院累计例数图3-4死亡累计例数随图3-5治愈出院累计例数随时间变化图像时间变化图像表3-1北京市疫情各衡量指标随时间变化误差分析日期已确诊病例累计数相对误差现有疑似病例数相对误差死亡累计例数相对误差治愈出院累计例数相对误差4月21日0.03370.08280.08370.13384月23日0.01430.02760.12440.00874月25日0.011360.02260.00260.02724月27日0.01680.05210.01880.01174月29日0.02760.00450.04510.01975月1日0.01810.01870.00830.02565月3日0.00790.01570.01840.01535月5日0.00490.01650.00260.03235月7日0.00340.00140.00110.0110……………(上表列举了所得结果的部分内容，全部内容见附件）其次，由表3-1（北京市疫情各衡量指标随时间变化误差分析）.可知预测的洛阳师范学院本科毕业论文7各类人群数相对误差较小，说明该模型的预测精度较高，预测程度好.最后，预测分析：由图3-2（已确诊病例累计数随时间变化图像）可见，从5月20号以后曲线趋于平坦，北京累计发病人数最高超过2500.由图3-3（现有疑似病例数随时间变化图像）可见，预测北京市每天疑似病人数高峰期为5月上旬，高峰期人数超过1500，以后下降很快，到6月中旬以后可下降至零.由图3-4（死亡累计例数随时间变化图像）可见，从5月底以后曲线趋于平坦，北京市累计死亡病人数最高可达191左右.为此得到，SARS疫情在5月上旬达到高潮期，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期；疫情大约5月底以后开始缓解；因此，北京的SARS疫情将在7月初得到基本的消除，即疫情的最终控制期.若延后5天采取严格的隔离措施，分别画出延后5天采取严格措施的易感者人数St预测曲线、疑似病例数Ht预测曲线、感染者数It的预测曲线的变动图像.010203040506070801.37951.37951.37961.37961.37971.37971.37981.37981.3799x107虚线为延后5天采取严格隔离措施图3-6易感者人数St预测曲线洛阳师范学院本科毕业论文8010203040506070800200400600800100012001400虚线为延后5天采取严格隔离措施图3-7疑似病例数Ht预测曲线01020304050607080050010001500200025003000虚线为延后5天采取严格隔离措施图3-8感染者数It的预测曲线由此可以看出按照我们提出的模型，提前采取严格的隔离措施：1)能极大程度的减少感染者人数（600以上）；2)能有效缩短传染病的持续时间；3)能有效的控制疫情的发展，这和实际情况是相同的.洛阳师范学院本科毕业论文9由实际数据知，在疫情爆发阶段，每隔5天就会