数学建模试卷及参考答案

数学模型B参考答案（电气05年12月）第1页（共5页）数学建模试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分)证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t),下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)0和g(a)0,g(b)=0,可知F（a）0,F(b)0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0,即f(t0)=g(t0)。2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为kx，随从数为ky，k=1，2,........，kx，ky=0，1，2，3。将二维向量ks=（kx，ky）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S。S=2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,yxyxyxyx（3分）记第k次渡船上的商人数为ku随从数为kv将二维向量kd=（ku，kv）定义为决策。允许决策集合记作D，由小船的容量可知D=2,1,0,,1|,vuvvuvu（3分）数学模型B参考答案（电气05年12月）第2页（共5页）状态ks随kd的变化规律是：1ks=ks+kkd1（3分）模型求解用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）1、14/13/1411311A试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时，RI=0.58）。答：14/13/1411311A中各列归一化8/19/17/18/49/47/38/39/47/3各行求和569.0373.1248.1=w2分而328.1897.4328.4Aw，（1分）所以最大特征根为123.3)569.0328.1373.1897.4248.1328.4(31)(3131iiiwAw2分其一致性指标为：CI=061.023123.31332分CR=1.0106.058.0061.0RICI所以A不通过一致性检验。2分数学模型B参考答案（电气05年12月）第3页（共5页）2、一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。(9分)答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)3、产品每天需求量为常数r,每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2,缺货损失费为C3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分）解:模型假设:1.产品每天需求量为常数r2.每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c23.生产能力无限大，缺货损失费为C3，当t=T1时产品已用完4.生产周期为T，产量为Q(2分)模型建立一周期总费用如下:2)(2213121TTrCQTCCC(2分)一周期平均费用为rTQrTCrTQCTCQTf2)(2),(23221(2分)模型求解:用微分法解得周期32321)(2CrCCCCT(1分)产量)(232231CCCCrCQ(1分)4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。解：状态死亡患病健康32,1，iii依歇易得转移概率阵为065.08.0P025.018.011.002.02分记)(),(,321nananan，则Pnn)(1),2,1(n…………（1分）数学模型B参考答案（电气05年12月）第4页（共5页）易是：。，i马氏链是吸收链是吸收状态死亡3（2分）OQPIR65.08.0Q25.018.01.002.0R65.02.01QIM65.075.0043.0125.018.012.018.085.093.0043.01Mey（3分）由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为4385043930和。（1分）5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）hNxrxtx))(1()(2(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况(2)如何获得最大持续产量解:令hNxrxxF))(1()(2，)31()(22NxrxFhNxrxxf))(1()(2的最大值点为)32,3(rNN（2分）当3/2rNh时,无平衡点（1分）当3/2rNh时,有两个平衡点)3/(1Nx和)3/(2Nx,经过判断x1不稳定,x2稳定（2分）当3/2rNh时,平衡点3/0Nx,由0)(0xF不能判断它稳定性（2分）(2)为了获得最大持续产量,应使3/Nx且尽量3/Nx接近,但操作困难（2分）四、建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药数学模型B参考答案（电气05年12月）第5页（共5页）浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）解：假设)(tci、)(txi和iV分别表示第i室)2.1(i的血药浓度，药量和容积，2112kk和是两室之间药物转移速率系数，13k是从中心室（第1室）向体外排除的速率系数……………3分则221112202211131121)()()(xkxktxtfxkxkxktx……（1）……………6分（其中)(0tf是给药速率）及)2()()(tcVtxiii于是：2211122121022112113121)()3()()()(ckckvvtcvtfckvvckktc…………4分2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A产品2公斤，A产品可获利30元/公斤，或加工8小时可生产B产品3公斤，B产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C产品4公斤，C产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。答：设每天安排x1桶原料生产A产品，x2桶原料生产B产品，x3桶原料生产C产品，则有：0,,582460681060432..485460max3211321321321xxxxxxxxxxtsxxxz参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分