数学归纳法的应用

编号学士学位论文数学归纳法的应用学生姓名：布威佐合热.图尔荪学号：20050101050系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2005-3班指导教师：阿布拉.热孜克完成日期：2010年5月10日学士学位论文BACHELOR’STHESIS1摘要数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，它的应用极其广泛．本文讨论了数学归纳法的两个步骤，体现了数学归纳法的证题思想：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．本文中证明数学归纳法的应用范围很广泛．与自然数有关的等式，不等式，整除问题，推广到一些定理，法则，公式都可以用数学归纳法证明．通过对数学归纳法应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力．关键词：概念；等式；不等式；定理；应用；证明；原理；数学归纳法学士学位论文BACHELOR’STHESIS2目录摘要..............................................................1引言..............................................................11.数学归纳法的概念................................................11.1数学归纳法....................................................11.2数学归纳原理..................................................11.2.1第一数学归纳原理：........................................11.2.2第二数学归纳原理：........................................12.数学归纳法的应用................................................22.1数学归纳法应用在证明等式......................................22.2数学归纳法应用在证明不等式....................................32.3数学归纳法应用在整除问题......................................62.4数学归纳法应用在证明几何问题..................................72.5用数学归纳法推广到指数运算法则................................82.6用数学归纳法推广到对数运算法则................................92.7用数学归纳法推广到复数中的槺莫佛定理.........................102.8用数学归纳法推广到二项式定理.................................112.9用数学归纳法证明LEIBNIZ公式...................................12总结............................................................13参考文献.........................................................14致谢.............................................................15学士学位论文BACHELOR’STHESIS1引言数学归纳法是用于证明与自然数有关的命题的一种严格推理方法，它具有高质的抽象性和概括性，应用十分广泛，在培养逻辑推理能力和灵活解题能力方面起着重要作用．由于它是初等数学与高等数学的一个街接内容，因此正确认识和理解数学归纳法，以及掌握数学归纳法证题的一般技巧是十分必要的．1.数学归纳法的概念1.1数学归纳法数学归纳法是证明那些与自然数n有关的命题的基本方法.在数学的各个部门中都有着广泛的应用，也是学习高等数学的基础，在中学数学课程中，它被广泛的应用在证明等式，不等式，整除问题，几何问题以及其他各方面．1.2数学归纳原理1.2.1第一数学归纳原理：设()pn是一个自然数有关的命题，如果()pn满足以下两个条件，则它对一切自然数n或0nk0(k为命题的第一个自然数）都成立．（1）当0nk0(k为命题的第一个自然数）时，()pn成立．（2）假设当0nkkk时()pn成立，则当1nk时()pn成立．1.2.2第二数学归纳原理：设()pn是一个与自然数有关的命题，如果()pn满足以下两个条件则它对一切自然数n或0nk0(k为命题的第一个自然数）都成立.（1）当001(,1)nnkk或时，()pn成立．学士学位论文BACHELOR’STHESIS2（2）假设()pn对一切不大于0()kkk的自然数n成立，则()pn对1nk也成立．2.数学归纳法的应用数学归纳法应用在证明等式，不等式，整除问题，几何问题以及其他各方面．2.1数学归纳法应用在证明等式例1用数学归纳法证明：tantantan2tan2tan3tan1tann2)tannxxxxxnxxnnnNx证明（1）当2n时，222tan222tan22tan1tan1tanxxxxx右边tantan2xx左边2n时，等式成立．（2）假设当*2,nkkkN时，等式成立，即tanktantan2tan2tan3tank1tankk(k2,k)tanxxxxxxxNx成立，那么当1nk时上等式两边同时加上tanktank+1xx，则得tantan2tan2tan3tank1tanktanktank+1tantantan1tantank+1tank+1tankk+11tanktank+1tantantantan1tanktank+1tank+1k+11tanktank+1tantantank+xxxxxxxxkxkkxkxxxxxxxxxxxxxxxxxx1k+1tanxx学士学位论文BACHELOR’STHESIS3所以当1nk时，等式都成立．由(1),(2)可知,一切*2()nnN时等式都成立．例2用数学归纳法证明111111112342122nnnn证明（1）当1n时，左边11122，右边12，左边右边所以1n等式成立．（2）假设*(1,)nkkkN时，等式成立，即111111112342122kkkk，那么1nk时，有1111111123421221221111112221221111123211221111232122kkkkkkkkkkkkkkkkkk这表明1nk时等式也成立．由（1），（2）可知，对于任何自然数n等式都成立．2.2数学归纳法应用在证明不等式例3用数学归纳法证明jensen不等式．（jensen不等式）若()fx时区间(,)ab上得凸函数，那么有关不等式11221122()nnnnfqxqxqxqfxqfxqfx其中12,,,nqqq均为正数且121nqqq，12,,,nxxx是区间(,)ab内任意n个点．学士学位论文BACHELOR’STHESIS4证明（1）当2n时，命题显然成立．（2）假设当*(2)nkkkN，时，命题成立，即11221122()()()()kkkkfqxqxqxqfxqfxqfx成立．先要证明当1nk时命题也成立．在(,)ab内任取1k点121,,,,kkxxxx，还有正数121,,,,kkqqqq且1211kkqqqq．首先以11111kkkkkkkkkkqqqqxxqqqq代替11kkkkqxqx应当指出，容易证明1111kkkkkkkkqqxxqqqq也是,ab内的一点记作kx.这样121,,,,kkxxxx就是(,)ab内的一个k点如再记1kkkqqq，那么1211211()1kkkkkqqqqqqqqq由归纳假设可得1122111112211111111122111111()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkfqxqxqxqxqqfqxqxqxqqxxqqqqqqqfxqfxqfxqqfxxqqqq11221122()fqxqxqfxqfx由不等式可知11111111kkkkkkkkkkkkkkkqqqqfxxfxfxqqqqqqqq这样1122111122()kkkkfqxqxqxqxqfxqfx学士学位论文BACHELOR’STHESIS511()()kkkkqfxqfx．这就说是当1nk时命题也成立.且1n时等式显然成立．由（1），（2）可知，对任何*2()nnN，等式（1）成立．当1n时等式显然成立.所以对于一切自然数n等式（1）成立.例4用数学归纳法证明不等式*222111112(,2)23nNnnn证明（1）当2n时,左边215124,右边16224,因为5644,所以2n时不等式成立．（2）假设*2,nkkkN时不等式成立．即22211111223kk，那么1nk时222222222221111111223(1)(1)(1)122(1)(1)122(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkk所以当1nk时不等式成立．由（1），（2）可知，对任何*2,nnN不等式都成立．常见错误：数学归纳法的第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可．例如：用数学归纳法证明21nnn，*()nN错证：（1）当1n时，21111，不等式成立．（2）假设当*(1,)nkkkN时不等式成立，即21kkk成立．学士学位论文BACHELOR’STHESIS6那么当1nk时，有222(1)(1)32442(1)1kkkkkkkk这就是说，当1nk时不等式也成立．综合，（1），（2）可知，不等式对*nN成立．分析：在数学归纳法的第二步中，在推证1nk时命题也成立时，必须把归纳假设即nk时的命题作为条件用上成立，否则就不是数学归纳法.正确证明（1）当1n时，21111不等式成立．（2）假设当(1)nkk时不等式成立，即21kkk，即22(1)kkk成立.当1nk时,有22222(1)(1)()(22)(1)(22)43442(1)1kkkkkkkkkkkkk所以当1nk时,不等式也成立．综合，由（1），（2）