实分析-习题课1

2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英DepartmentofMathematics2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英习题课12019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英证明:把一切排列与二进小数作对应f:{(x1x2…)|x1,x2,…∈A}→[0,1)，(x1x2…)→0.x1x2…显然可知f是一一对应。集{(x1x2…)|x1,x2,…∈A}的势为א习题3.设A={0,1},试证明一切排列{(x1x2…)|x1,x2,…∈A}所成集的势为א一,部分习题讲解2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英4(1).证明[0,1]≈(0,1)。其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间。设(0,1)中的有理点全体为123,,,,rrr作双射函数f:[0,1](0,1)，102习题4.试证明下列各题中集之间的一一对应.12345,,,,,,rrrrr123{,,,,}rrr2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英再让(0,1)中的无理点与[0,1]中的无理点自身对应,则易知f是一双射.所以[0,1]≈(0,1)2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英4(2).对任何a,b∈R，ab，则,[a,b]≈(-∞,+∞)。解:因为(a,b)≈[a,b],只要证(a,b)≈(-∞,+∞)双射函数f：(a,b)→(-∞,+∞)，1()()2bxfxtgba2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英解因为由(1),(2)知:(0,1)[0,1](,)R所以只要证明R与无理数集对等.设无理数集为A,则A中有可列子集B,于是BQ仍是可数集，因此BQQ.习题４(3).作开区间(0,1)与无理数集之间的一一对应.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英因为()AABB，()RAQABBQ建立A与R之间的对应如下:()AB中点与自己对应,再作B与BQ的一一对应f,则显然有A与R之间的一一对应,从而AR,于是有(0,1)A.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英4(4).开上半平面与开单位圆。解:根据复变函数的知识,分式线性映射实现了开上半平面与开单位圆的一一对应。()1ziwfziz2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英5(1)证明;以有理数为端点的区间集与有理数集一一对应.习题5下列各集是否与自然数集或[0,1]构成一一对应.(1)以有理数为端点的区间集;(2)闭正方形[0,1;0,1].2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英证明：设有理数集为12{,,,,}nQrrr，记(,)ijijArr表示以有理数,ijrr为端点的区间，则以有理数为端点的区间全体为{}ijSA，因为121314,2324{,,,,}AAAAA，于是S中元按排列关系121314,2324{,,,,}AAAAA就建立了S与自然数集之间的一一对应．2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英5(2)证明:闭区间[0,1]与闭正方形[0,1;0,1]等势.证明:因为闭区间[0,1]与R等势,又闭正方形[0,1;0,1]与整个平面等势,且它们的势均为所以闭区间[0,1]与闭正方形[0,1;0,1]等势,从而存在它们之间的一一对应.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英证明:设P是整系数多项式全体所成的集合.设P(n)是n次整系数多项式全体,即110(){()},1,2,,,0)nnnnninPnpxaxaxaaZina(其中习题6证明整系数多项式全体是可数集2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英0nnPP为可数集（可数个可数集的并）所以全体整系数多项式所成的集是可数集.0~;~({0}))()nPZPZZZZnZ显然个相乘为可数集(n1)（有限个可数集的卡氏积为可数集）2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英[0,1]C证明:首先因为对定义在[0,1]上的一切常数函数都是连续函数,且[0,1]{()|[0,1],}~CfxxRRλ０１习题7.设C[0,1]表示[0,1]是连续函数全体的集合,证明它的势为2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英其次令{rn}为[0,1]中有理数全体，对每一f∈C[0,1]构造实数列由有理数在[0,1]中稠密及f连续可知C[0,1]中不同的元对应的实数列也不同，从而C[0,1]与实数列全体R∞的一个子集对等,即有所以[0,1]CRR123{(),(),(),,(),)nfrfrfrfr[0,1].C2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英习题8.设用M表示(-∞,+∞)上一切单调函数全体的集,证明它的势为证明:首先因为对定义在(-∞,+∞)上的单调函数的间断点至多可数.事实上,若f是R上的单调升函数(单调降类似)f在x点处不连续的充分必要条件是f(x-0)f(x+0),且对任意两个不连续点因此对每个不连续点x就对应一个开区间(f(x-0),f(x+0)).121122,(0)(0)(0)(0)xxfxfxfxfx2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英且这些开区间互不相交,于是根据直线是互不相交的开区间全体的集合至多可数.于是我们证明了定义在(-∞,+∞)上的单调函数的间断点全体至多可数.设定义在(-∞,+∞)上所有单调函数的全部间断点为A.因为A可数,设R中的有理数为无理数间断点为12{,,,,}nrrr12{,,,,}nxxx2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英则对每一单调函数f由实数列确定.从而M与实数列全体R∞的一个子集对等,即有另一方面,常数函数是单调函数所以MRR1122{(),(),(),(),,(),(),}nnfrfxfrfxfrfx.MR{()|}.MfxkkRR2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英例12设12GG为R中开集,证明：1G的每个构成区间含于2G的构成区间之中.证:设11(,)为1G的构成区间,11(,)x，又设2G中含x的构成区间是22(,),下证明1122(,)(,).2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英反设12,由于2,x所以有211112(,)(,),xGG此与22(,)是2G的构成区间,22G，矛盾于是12.同理可证明12.所以有1122(,)(,).2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英习题15.证明任何点集的内点全体是开集,即Eº为开集)(EE证明：只要证EOx),(,0使得Ex任取，由内点的定义知),(xOy),('yxd任取，取2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英注：Eº为含于E内的最大开集为开集，即从而EEE)((,')(,)yxyOOEEOx),()(Ex从而y为E的内点，从而所以x为Eº的内点，即),(xOy),('yxd任取，取)',(yOE),(xO2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英例16.设()fx是定义在R上只取整数值的函数，试证它的连续点集为开集,不连续点为闭集.证明.设0{|xExRf在x连续},且00()fxn(整数),由连续性及已知条件可知,存在0,使得对一切0(,)xOx,有0()fxn,于是f在0(,)Ox上连续.所以00(,)xOxE,即E为开集.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英设{|FxRf在x不连续},则()FE由E为开集,知F为闭集,即证明了不连续点为闭集.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英1/(0,1]()00xxfxx解：两者都不一定成立.例如习题18.设f(x)定义在[0,1]上的有限函数,已知它在每个无理点连续.问f(x)在无理点集上是否有界,在[0,1]上是否一致连续?显然f(x)为[0,1]上的有限函数,且它在每个无理点连续,但在无理点集上无界.f(x)在x=0处不连续,所以[0,1]上不一致连续.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英()sinfxx解:(2)连续函数不一定映开集为开集.例如习题19.设f(x)是R上实函数,映任意开集为开集,问f(x)是否连续?又连续函数是否映开集为开集?显然f(x)在R上连续,但它把开集(0,4π)映为闭集[-1,1].2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英解(1)开映射不一定是连续映射.例如:在每个区间{[,1]},nnnZ上作康托集nP.令[,1],,,nnnnnnGnnPPPGG,则G为开集.设G的构成区间为(,),1,2,,kkabk在R上定义函数:1()(,)2()0kkkkkbxtgxabbafxxP．2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英显然f在P上每一点都不连续.但f是开映射．事实上，设E是R中任一开集，(,),nnnE由于P中不包含任何区间，(,),nnP的情形不可能发生，于是只有两种可能:①EG;②E的构成区间既含G的点又含P的点.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英①当EG时,则E的任何构成(,)nn必包含在G的某个构成区间内(,)(,)nnkkab，由函数的定义，f映(,)nn为开区间11((),()),22knknkkkkbbtgtgbaba根据可列个开区间之并为开集，便知f映开集E为开集．2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英②当E的构成区间(,)nn既含G的点又含P的点，由康托集的构造知，E的构成区间(,)nn必含P的点之间的G的某个构成区间(,)kkab,因为f映G的构成区间(,)kkab为开集R,从而f映E为开集R．2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并EGGEnnnn11,下证从而nGE11(,)111(,),,,,(,),,,||nnnnxnxEnnnnxyGnGOxEyOxxEOxy则有y某由n的任意性,知使得y即任取),(1nExnxOGnGE证(1)：设E为闭集，取则Gn为开集，习题202019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英nGE再由E为闭集，可得y∈E从而每个闭集必是可数个开集的交.{}limnnnExxy中点列使得从而对于(2),通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并.2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英习题21.设E是Cantor集P的补集中构成区间的中点所成的集,求Eˊ.Cantor集P的构造:将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间，将剩下的两个区间再次三等分，删去中间的两个区间。如此继续下去，最终剩下的点集记作P，称之为Cantor集。32,311,32,31,098,97,92,912019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英()x-εxx+ε第n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间()130,nniIO（x,）当时，有()niI证明：设P的余集为G,对任意x∈P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中2019/12/25福州大学数学与计算机学院聂建英()x-εxx+ε第n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而内至少含有