数学模型第二章习题答案

第一章作业解答第1页共14页15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v、S、的关系.解:设P、v、S、的关系为0),,,(svPf，其量纲表达式为:[P]=32TML,[v]=1LT,[s]=2L,[]=3ML,这里TML,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=()()()()()()(001310013212svPTML齐次线性方程组为：030032221414321yyyyyyyy它的基本解为)1,1,3,1(y由量纲iP定理得1131svP，113svP，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,g的关系为(fv,,,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[g]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131gvTML齐次线性方程组Ay=0，即02y-y-y-0yy0yy-3y-y431324321的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲iP定理得gv13.3gv，其中是无量纲常数.第一章作业解答第2页共14页16*．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,，g的关系为0),,,,(gvf.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0，[g]=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311gvTML齐次线性方程组Ay=0即020035414354321yyyyyyyyyy的基本解为)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21yy得到两个相互独立的无量纲量2/112/322/12/11ggv即1212/12/31,ggv.由0),(21,得)(121)(12/12/3gg,其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为0),,,,(kgmltf其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][LTMLTvfkTLMgMTLmTLMlTMLt第一章作业解答第3页共14页10MTL，其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(120011010001010kgmltTML齐次线性方程组02005415342yyyyyyy的基本解为)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21YY得到两个相互独立的无量纲量∴glt1,)(21,2/12/12mgkl∴)(2/12/1mgklglt，其中是未定函数.考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,'t；l,'l;m,'m.又)(2/12/1gmlkglt当无量纲量llmm时，就有lllggltt.（三）2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，rk．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间00Tt一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产，画出贮存量)(tg的图形.设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c，以总费用最小为目标确定最优生产周22/112/112/12/1kgmlgtl第一章作业解答第4页共14页期，讨论rk和rk的情况.解：由题意可得贮存量)(tg的图形如下：贮存费为niTiitTTrkcdttgctgc10202022)()()(lim又)()(00TTrTrkTkrT0,贮存费变为kTTrkrc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrkrcTckTTrkrcTcTC2)(2)()(21221krkrcTcdTdC2)(221.0dTdC令,得)(221rkrckcT易得函数处在TTC)(取得最小值，即最优周期为：)(221rkrckcTrcc，Trk212时当.相当于不考虑生产的情况.，Trk时当.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度将减小，我们作如下假设:1)(bkb，分母时是防止中的011bb而加的.rk)(tgrtgT0TO第一章作业解答第5页共14页总费用函数xcbkxbxtcbkxbtctcxC3122121211)1()(2)1(2最优解为kbkcbbbckbcx)1(2)1()1(2232211.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：（1）若处最大先增加，在则1)(,10stis，然后减少并趋于零；)(ts单调减少至.s（2）.)()(,10ststis单调减少至单调减少并趋于零，则若解：传染病的SIR模型（14）可写成isdtdssidtdi)1(.)(lim0.(t).)(.0,t存在而单调减少知由stsstsdtdsisdtds.)(sts单调减少至故（1）.ss(t).s(t).100单调减少由若s;)(,0.01,10单调增加时当tidtdisss.)(,0.01,1单调减少时当tidtdiss.0)(lim.0)18(ttii即式知又由书上.)(.0,1mitidtdis达到最大值时当（2）.00.1-s,1,10dtditss从而则若.0.0limititit即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4ba初始兵力00yx与相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.第一章作业解答第6页共14页(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用tytx,表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:000,01,yyxxbxdtdyaydtdx现求(1)的解:(1)的系数矩阵为00baAababbaAE1,22.01212,21，对应的特征向量分别为tabtabeCeCtytx1212121的通解为.再由初始条件，得2220000tabtabeyxeyxtx又由.1aybxdxdy可得其解为3,202022bxaykkbxay而(1).231000202011yabyabxayaktytx时，当第一章作业解答第7页共14页即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y又令.0222,01100001tabtabeyxeyxtx）得由（注意到000020022,1xyyxeyxtab得..43ln,3121btetab(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则000,)0(4yyxxbxdtdyraydtdx.,4rdyaydybxdxbxraydydx即得由相轨线为,222kbxryay.222220.020karbxaryabxryayk或此相轨线比书图11中的轨线上移了.ar乙方取胜的条件为.,0222020arxabaryk亦即（七）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．(1)分别就4/rNh，4/rNh，4/rNh这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t的渔场中鱼的数量为tx，则由题设条件知：tx变化规律的数学模型为hNxrxdttdx)1()(第一章作业解答第8页共14页记hNxrxxF)1()((1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由0xF，得0)1(hNxrx．即102hrxxNr)4(42NhrrNrhr，(1)的解为：2412,1NrNhNx①当4/rNh，0，(1)无实根，此时无平衡点；②当4/rNh，0，(1)有两个相等的实根，平衡点为20Nx.NrxrNrxNxrxF2)1()('，0)(0'xF不能断定其稳定性.但0xx及0xx均有04)1()(rNNxrxxF，即0dtdx．0x不稳定；③当4/rNh，0时，得到两个平衡点：2411NrNhNx，2412NrNhNx易知：21Nx，22Nx，0)(1'xF，0)(2'xF平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定.(2)最大持续产量的数学模型为0)(..maxxFtsh即)1(maxNxrxh，易得2*0Nx此时4rNh，但2*0Nx这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx，且尽量接近2N，但不能等于2N．xNxrx/12x2/N1x4/rNh4/rNh4/rNh第一章作业解答第9页共14页2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：xNrxtxln'．其中r和N的意义与Logistic模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Exh．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平*0x．解：tx变化规律的数学模型为ExxNrxdttdxln记ExxNrxxFln)(①令0xF，得0lnExxNrxrENex0，01x．平衡点为1,0xx.又ErxNrxFln'，1'0',0xFrxF．平衡点ox是稳定的，而平衡点1x不稳定