数学模型练习

-1-《数学模型》考试题型填空题(16分)（基本概念）简答题(24分)（基本概念）计算题(60分)（基本计算）复习重点章节：Ch1.建立数学模型（基本概念）§1数学建模的背景及重要意义；§2模型和数学模型的概念；§3数学建模的流程图、基本方法和步骤；§4数学模型的分类与特点；Ch2.初等模型（基本计算）§10量纲分析与无量纲化；Ch3.简单的优化模型（基本概念）§1存储模型§2生猪的出售时机；Ch4.数学规划模型（基本计算）§1奶制品的生产与销售；Ch5.微分方程模型（基本概念及计算）§1传染病模型；§3正规战与游击战Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）§1捕鱼业的持续收获；§2军备竞赛Ch7.差分方程模型（基本计算）§1市场经济中蛛网模型Ch8.离散模型（基本概念）§1层次分析模型；§2循环比赛的名次Ch9.概率模型（基本概念）§1传送系统的效率；§2报童的诀窍；§3随机存贮策略；-2-典型题型1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、、、、、模型应用等.2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、水资源模型、、、等.3．每对顶点之间都有一条边相连的称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有种形式．4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有：、、．5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称．6.写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型7.有4支球队A、B、C、D进行单循环赛，比赛结果是这样的：A胜B和C，B胜C和D，C胜D，D胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．答：这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为0001100011000110A，它是双向连通的.；令Te)1,,1,1(，分别计算8,,3,2,1,)1()(keAsAskkk.从而可得这4支球队A、B、C、D的名次为{（A，B），（D，C）}8.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.9.．写出数学建模过程的流程图-3-（10）开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期t与其椭圆轨道长半轴l、太阳与行星的质量m、万有引力常数k有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期t的表达式.（万有引力定律公式为：221rmmkf）解：设t,l,m,k的关系为(ft,l,m,k)=0.其量纲表达式为100][TMLt，001][TMLl，010][TMLm，2][LMTk2L2M=213TML,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(200111003010kmltTML齐次线性方程组Ay=0，即02y-y0yy0y3y414342的基本解为)1,1,3,2(Y由量纲iP定理得1132kmlt.kmlt3，其中是无量纲常数.-4-10.雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,，g的关系为0),,,,(gvf.其量纲表达式为[v]=LM0T-1[]=L-3MT0[]=L-1MT-1[]=LM0T0[g]=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311gvTML齐次线性方程组Ay=0即020035414354321yyyyyyyyyy的基本解为)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21yy得到两个相互独立的无量纲量2/112/322/12/11ggv即1212/12/31,ggv.由0),(21,得)(121)(12/12/3gg,其中是未定函数.-5-11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：品种面粉（千克）糖（千克）蛋（千克）利润（千元）精制0.10.20.30.3普通0.30.20.10.2已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x千克和10y千克，糕点的利润为Z（千元），由题意得此问题的数学模型为：yxZ23maxs.t.0,01531222153yxyxyxyx模型的求解：用图解法.可行域为：由直线0,0153:1222:153:3:21yxyxlyxlyxl及组成的凸五边形区域.直线Cyxl23:在此凸五边形区域内平行移动.易知：当l过32ll与的交点时，Z取最大值.由1531222yxyx解得：23,29yx，5.16232293maxZ（千元）.故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.y65(3/2,9/2)432(9/2,3/2)L11x0123456x+y=63x+y=15L3L2-6-（11）一食品加工厂用牛奶生产21,AA两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤1A，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤2A，每公斤1A获利24元，每公斤2A获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤1A，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.-7-12．已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)2(0101xxxyykkk--------------------（1）0,)(001yyxxkk-------------------（2）由（2）得)(0102yyxxkk--------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102xxxxxkkk,2,1,2220012kxxxxxkkk，--------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022容易算出其特征根为48)(22,1---------------（5）当8时，显然有448)(22-----------（6）从而22，2在单位圆外．下面设8，由(5)式可以算出22,1要使特征根均在单位圆内，即2,11，必须2．故0P点稳定平衡条件为2．-8-（12）.已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy和)3132(11kkkyygx.试建立关于商品价格ky的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知需求函数和供应函数分别为)(kkxfy和)3132(11kkkyygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)(00xxyykk（1）0,)3132(0101yyyxxkkk（2）从上述两式中消去kx可得,2,1,)1(323012kyyyykkk，（3）上式是我们所建立关于商品价格ky的差分方程模型，且是二阶线性常系数差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的特征方程0232容易算出其特征根为612)2(222,1---------------（4）当3时，显然有333)(22-----------（5）从而21，2在单位圆外．下面设3，由(5)式可以算出32,1．要使特征根均在单位圆内，即2,11，必须3．故0P点稳定平衡条件为3．-9-13．设某渔场鱼量)(tx(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrxdttdx其中r为固有增长率,`N为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h.（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度mE,使渔场单位时间内具有最大持续产量mQ,并求此时渔场鱼量水平*0x.解：（1）.)(tx变化规律的数学模型为hNxrxdttdx)1()(记hNxrxxf)1()(,令0)1(hNxrx，即02hrxxNr----（1）)4(42NhrrNrhr，（1）的解为：2412,1NrNhNx①当0时，（1）无实根，此时无平衡点；②当0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx.NrxrNrxNxrxf2)1()('，0)(0'xf不能断定其稳定性.但0xx及0xx均有04)1()(rNNxrxxf，即0dtdx0x不稳定；③当0时，得到两个平衡点：2411rNhNNx，2412rNhNNx易知21Nx，22Nx0)('1xf，0)('2xf平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为：0)(..maxxftsh即)1(maxNxrxh，易得2*0Nx此时4rNh，但2*0Nx这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx,且尽量接近2N,但不能等于2N.-10-（13）试求Gompertz模型：ExxNrxdttdxln的非零平衡点，并讨论其稳定性．(P178页)其中r和N的意义与Logistic模型相同设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Exh.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平*0x(.xNrxtxln)()解：（1）)(tx变化规律的数学模型为ExxNrxdttdxln)(记ExxNrxxfln)(，令0)(xf，即ExxNrxln＝0得到两个平衡点：（如图所示）rENex0，01x可证0x稳定，01x不稳定erNxNrxln（与E，r的大小无关）.ExErxNrxfln)('0)(0'rxf，ox)(1'xfeN0xN（2）最大持续产量的数学模型为：maxh＝Exs.t.0,0lnxExxNrxrEENehrErEerENNedEdh由0dEdh，得Erm，故最大持续产量erNhm此时捕捞强度Erm，渔场鱼量水平eNx*0.（记ExxNrxxFln)(令0xF，得0lnExxNrx非零平衡点为rENex