数学物理方法期末考试答案

《数学物理方法》(A卷解答)第1页共8页天津工业大学（2009—2010学年第一学期）《数学物理方法》(A)试卷解答(2009.12理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。满分3042208总分复核题目一二三四得分评阅人一.填空题(每题3分,共10小题)1.复数ie1的指数式为：iee；三角形式为：)1sin1(cosie.2.以复数0z为圆心，以任意小正实数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z点的邻域.3.函数在一点可导与解析是不等价的(什么关系？).4.给出矢量场旋度的散度值，即f0.-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------学院专业班学号姓名-------------------------------装订线----------------------------------------装订线-----------------------------------------装订线---------------------------------------满分30得分《数学物理方法》(A卷解答)第2页共8页5.一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域称为复通区域.6.若函数)(zf在某点0z不可导，而在0z的任意小邻域内除0z外处处可导，则称0z为)(zf的孤立奇点.7.函数的挑选性为)()()(00tfdtf.8.在数学上，定解条件是指边界条件和初始条件.9.常见的三种类型的数学物理方程分别为波动方程、输运方程和稳定场方程.10.写出l阶勒让德方程:0)1(2)1(222lldxdxdxdx.二.计算题(每小题7分，共6小题)满分42得分《数学物理方法》(A卷解答)第3页共8页1.已知解析函数)(zf的实部xyyxyxu22),(，求该解析函数(0)0(f).解：yxux2，xyuy2，2xxu，2yyu.0xxyyuu,(,)uxy是调和函数.2分利用柯西-黎曼条件xyuv,xyvu,即，xyvx2,yxvy2，2分于是，),()2()2(yxCdyyxdxxyv)0,()0,0(),()0,()2()2()2()2(xyxxCdyyxdxxydyyxdxxyCxyxy22222.2分所以，)21()(2izzf.1分2.给出如图所示弦振动问题在0x点处的衔接条件.解：),0(),0(00txutxu,2分0sinsin)(21TTtF,2分又因为),0(sin011txutgx,),0(sin022txutgx,2分所以，)(),0(),0(00tFtxTutxTuxx.1分《数学物理方法》(A卷解答)第4页共8页3.由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.解：三维输运方程为02uaut(1分)分离时间变数t和空间变数r,以)()(),(rvtTtru(2分)上式代入方程,得vvTaT2(1分)令上式等于同一常数2k,22kvvTaT(2分)则得骇姆霍兹方程为02vkv(1分)4.在00z邻域把mzzf)1()(展开(m不是整数).解：先计算展开系数：mzzf)1()(，mf1)0(；)(1)1()(1zfzmzmzfm；mmf1)0(；2)1)(1()(mzmmzfmmmf1)1()0(；5分)()1()1(2zfzmm,所以，mz)1(在00z邻域上的泰勒级数为21!2)1(1!11)1(zmmzmzmmmm2!2)1(!111zmmzmm.2分《数学物理方法》(A卷解答)第5页共8页5.计算22sin21zzzdz.解：因为4nz(n为整数，包括零)，有0)sin21(2z，因此，40nz是极点.但是，在2z圆内的极点只有4.又由于1分4]sin21)4[(lim24zzzz，2分4]sin21)4[(lim24zzzz，2分所以，isfsfizzdzz222)]4(Re)4([Re2sin21.2分6.求拉氏变换][costL,为常数.解:)(21costitieet,speLst1][2分)(21][costitieeLtL][21][21titieLeL2分ipip11212分22pp0Rep1分《数学物理方法》(A卷解答)第6页共8页三.计算题求解两端固定均匀弦的定解问题02xxttuau00xu，0lxu，)(0xut，)(0xutt.解:设此问题的解为)()(),(tTxXtxu代入方程和初始条件，得02TXaTX，0)()0(tTX，0)()(tTlX，可得，XXTaT2，0)0(X，0)(lX，令，XXTaT2所以，0)(,0)0(0lXXXX，(本征值问题)02TaT下面先求解本征值问题：当0时，xxececxX21)(，满分20得分《数学物理方法》(A卷解答)第7页共8页由初始条件，得021cc，因此，0),(txu，解无意义.当0时，21)(cxcxX，同样由初始条件，得021cc，因此，0),(txu，解无意义.当0时，xcxcxXsincos)(21，由初始条件，得01c，0sin2lc，所以，0sinl，即，nl(n为正整数)，因此本征值为：222ln,3,2,1n本征函数为：lxncxXsin)(2，2c为任意常数.10分方程02TaT的解为：latnBlatnAtTsincos)(，因此，lxnlatnBlatnAtxunnnsinsincos),(，此问题的通解为：lxnlatnBlatnAtxutxunnnnnsinsincos),(),(11，代入初始条件得1)(sinnnxlxnA，1)(sinnnxlxnlanB，所以，lndlnlA0sin)(2，lndlnanB0sin)(2.10分《数学物理方法》(A卷解答)第8页共8页四.简答题给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.解：泊松方程为：),,(zyxfu3分令wvu，取v唯一特解，2分则0fuvuw2分然后求解拉氏方程0w得w。1分满分8得分