数学物理方程A数学

第1页共10页福州大学2013～2014学年第一学期考试A卷0课程名称数学物理方程考试日期2014年01月15日考生姓名学号专业或类别11级数学题号一二三总分累分人签名题分303040100得分考生注意事项：1、本试卷共10页，请查看试卷中是否有缺页。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。教师注意事项：如果整门课程由一个教师评卷的，只需在累分人栏目签名，题首的评卷人栏目可不签名。得分评卷人一、（共30分，每小题10分）波动方程：1.求解波动方程的初值问题：00sin,0,|sin.ttyytttuutyuuy第2页共10页2.考虑波动方程的第三类初边值问题00()0,|(,),|(,),0,ttxxyytttuuuuxyuxyunu其中0是常数，为的边界，n为上的单位外法向量。对于上述定解问题的解，定义能量积分2222()()dddtyxEtuuuxyus试计算证明()Et常数，并由此证明上述定解问题解的唯一性。第3页共10页3.已知三维波动方程柯西问题的解可改写成如下形式'221(,,,)(')(')(')'d.4atMMBuxyzttMMMMMsat其中atMB表示以M(,,)xyz球心，半径为at的球面，23()CR和33()CR分别表示初始速度和位移，积分变量'atMMB，'MM表示球心M指向点'M的向量，'dMs表示球面的面积微元。现在假设存在以原点O为球心，为半径的球OB，使得,在该球外恒为零（即有紧支集）。请证明：存在一个常数C，使得对于任意(,,)xyz及1,t(,,,)/.uxyztCt第4页共10页二、（共30分，每小题10分）热传导方程：1．已知热传导方程初边值问题200,0,()tyyyytuauuuuy的解为2()1(,)sin,antnnuytAeny其中02()sind,nAn2[0,]C。请证明：存在仅依赖于初始条件的常数C，使得对于任意[0,]y及1,t有2(,).atuyte得分评卷人第5页共10页2．在区域0,0tx中求解如下的定解问题22(1)(0,)(,)1(,0)sin21txxuauuututuxx其中a为常数（注意先做变换21(,)tuvxte）。第6页共10页3．请利用傅里叶变换及积分公式2222i/4d(/)kkeke（其中和是实数，2i1），形式上推导下列问题解的积分公式：200,().txxtuauux该模型可用于近似刻画物质在无限长细管中扩散现象(u表示浓度)，请根据其解的公式说明下为何上述模型不是扩散现象的真实模型。第7页共10页三、（共40分，每小题10分）调和方程：1．记表示二维有界区域，若2()uVC1()C满足下列初边值问题：2:0in,xxyyuuu.ugn请证明：u满足变分问题()min(),vVJuJv其中22ddd.1()2xyxyJuuuusg得分评卷人第8页共10页2．已知调和方程狄利克雷外问题0in,,lim()0iMuufuM的解是唯一的，请进一步利用极值原理证明其稳定性，即如果(,)iiuf是0in,,lim()0.iiiiMuufuM的解，则对于任意,M1212()()maxuMuMff。第9页共10页3．记2ROBR表示以原点O为圆心，半径为R的圆。已知该圆上的格林函数为010111lnln,2MMMMRGrr其中iMMr表示两点M与iM之间距离，i表示点iM到圆心O的距离，且201R。请用格林函数法公式0d,ROMBGuMfln请计算证明：20,()ROBuuf的解为222000220000()1(,)d22cos()RfuRR。第10页共10页4.设函数21()()uCC，其中是开区域，请证明：0uin，当且仅当对于任意包含于的球面B总有d0BuSn。-------------------------------------------*附三角函数公式：2sinsin[cos()cos()]xyxyxy*附高维分部积分公式：是以光滑的曲面为边界的有界区域（可以是多连通区域），则ddd,iixxivuVuvVuvns其中in表示边界的单位外法向量n的第i个分量，1,()()uvCC。