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轮换对称式的因式分解问题林达多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。例1分解因式：错误!未找到引用源。【分析与解答】首先观察发现，当错误!未找到引用源。时，原式的值为0。即，如果将原式看作a的函数，将b看作常数，则错误!未找到引用源。是函数的一个根。故错误!未找到引用源。是原式的因式，同理错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。也是原式的因式。故错误!未找到引用源。是原式的因式，观察发现原式是错误!未找到引用源。的三次式，错误!未找到引用源。也是三次式，故两式必然只差一个常数。用待定系数法，设代入错误!未找到引用源。，得到错误!未找到引用源。，故原式的因式分解结果是例2分解因式：错误!未找到引用源。【分析与解答】和例1类似，首先观察发现，当错误!未找到引用源。时，原式的值为0。故错误!未找到引用源。是原式的因式，同理错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。也是原式的因式。故错误!未找到引用源。是原式的因式，观察发现原式是错误!未找到引用源。的五次式，错误!未找到引用源。是三次式。两者都是错误!未找到引用源。的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果：代入错误!未找到引用源。，得到代入错误!未找到引用源。，得到解得错误!未找到引用源。故原式的因式分解结果是例3化简：错误!未找到引用源。【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式。观察发现，当错误!未找到引用源。时，原式为故，错误!未找到引用源。是原式的一个因式，同理错误!未找到引用源。也是原式的因式。故错误!未找到引用源。是原式的因式。观察发现原式是错误!未找到引用源。的三次式，错误!未找到引用源。也是三次式，两式必然只差一个常数。用待定系数法，设代入错误!未找到引用源。，得到错误!未找到引用源。，故原式的化简结果是配方法及其应用林达复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。对于这类多项式，配方法往往能出奇效。相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。下面我们看几道例题。例1分解因式：错误!未找到引用源。【分析与解答】通过观察或一般的十字相乘法，难以发现这个多项式的因式，这时我们根据错误!未找到引用源。这两项想到了配方法——配出平方项。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。最后一步用了平方差公式。例2分解因式：错误!未找到引用源。【分析与解答】看到错误!未找到引用源。想到错误!未找到引用源。故可以用配方法。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。下面看一道配方法的经典应用。例3证明：具有如下性质的自然数a有无穷多个：对任意自然数n，错误!未找到引用源。都不是质数。【分析与解答】利用配方法，取错误!未找到引用源。，其中k是正整数且k1。则，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。因为k1，故错误!未找到引用源。故对于这样的错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。必为合数。又k的任意性知这样的k有无穷多个。【点评】错误!未找到引用源。这个配方公式在代数计算、数论等领域都有较广泛的应用。