数学美复习

数学美学数学美的概念数学美隶属于科学美，但数学美又有自身的特征（1）数学美的定义数学美就是数学关系结构系统与作为审美主体的人的意向的融合，从而引起人的一种愉悦的情感体验。（2）数学美与其它美的关系(自然美、社会美、艺术美)数学美的特性可概括为和谐性和奇异性，而和谐性又表现为统一性、简洁性、对称性、整齐性、不变性和恰当性1、统一性就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。数学中一些表面看来不相同的概念、定理、法则，在一定的条件下可以处于一个统一体中。数学美的特性简洁美：简洁、有效、直观，这是数学中的一种美。数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式和数学理论体系的结构简单。简洁性是数学美的特征之一。简洁性是数学结构美的重要标志。简洁性是数学形态美的基本内容。简洁性是数学家追求的目标。数学不仅仅是在运算上，论证也更是如此。数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一。几个公理、定理、概念、命题就能把庞杂的数学分支处理好，井然有序，完整地体现着直观、和谐美。2、简洁性数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单而是指数学的表达形式和数学理论体系的结构简洁,或者说用简单的公式、简单的工具、简单的理论去描绘客观世界的规律性。dxxf)(这一简洁的符号表达了积分概念的丰富的思想许多现象可以归纳为数学的一个公式、一个方程或一个函数关系（１）简单的图形给人以美感；（２）简单的符号给人以美感；“０”，零元、零点、零因子ie,,01ie（３）二进制是最简单的进制3、对称性例如，几何中的对称图形；函数与反函数的图像关于直线对称；化简代数式时的共轭因子；多项式方程虚根的成对出现；对称多项式；线性方程组的克莱姆法则等都给人以对称性的美感。出于对称美的考虑，人们在正整数的基础上找到了负整数；在微分方程的基础上，创立了积分方程的理论；在罗氏几何的基础上了，创立了黎氏几何。群论的创立也是在研究代数方程根的对称性的基础上发展起来的。所谓数学的整齐美是指各个数学符号按相同方式排列，同一形状的一致的重复。函数的周期性，就是这种数学美的映照。n阶行列式是由n2个元素按行、列排列成的一个正方形，其排列的整齐，给人一种美的享受。)12)(1(613212222nnnn)3)(2)(1(41)2)(1(432321nnnnnnn223333)1(41321nnn下列自然数项级数的和：（１）（２）（３）也表现出一种奇特的整齐性.4、整齐性对数学整齐美的追求，可以获得新的数学成果。例如，一元一次方程有一个根，一元二次方程有两个根，一元三次方程有3个根，一元四次方程有4个根。由这些特殊方程的根的个数与方程的次数的一致性，促使数学家提出如下的猜想：一元n次方程有n个根。这一猜想的证实就得到了代数基本定理。5、不变性在一个数学关系结构系统中，那些变化中的不变量和不变关系常常表现出美的神韵例如分数分子和分母分别同乘以不为0的数，其分数形式变了，但分数值不变，比例的基本性质，其表现形式改变了，但比值始终不变。这种种不变量和不变性呈现出的美使人产生美感。6、恰当性所谓恰当美是指有些事物表现出数量上的适度，即我们常说的不多不少、正好，往往给人以美的愉悦...212121127、奇异性例如：美国的杜格勒比发现(精确到4位小数)，654e数学审美教育的作用1、有利于激发我们对数学学习的兴趣在数学教学过程中，应该让学生理解数学的内在美，通过数学概念的概括，公式的推导，方法的获得，让学生知道数学美表现在哪里，如何从数学美的角度来评判解题方法的优劣，怎样在美的启迪下，寻求新的解题方法。这些审美活动的作用主要表现在：2、利于全面开发学生的智力，培养创造型人才3、有利于陶治学生的思想情操数学审美教育的途径数学审美教育的方法是多种多样的，方式也是非常灵活的，这里仅从几个方面予以探讨1、深入挖掘数学教学内容所固有的美2、增强审美自我意识，善于发现数学美因3、在数学审美活动中，注意逻辑方法与直觉方法的结合4、在数学学习、认识及评价过程中，自觉地以数学审美标准作指导5、教师作适当的引导第二讲有趣的数字世界•奇异的数字•正整数记趣在奇妙的数字与符号中间同样存在着令人感动的美!1.完全数（完美数）如果一个正整数等于除它自身以外的各个正因子之和，则这个数叫完全数。|,1,,.1iixainxa121naxxx完全数有多少?61,2,36123的因数为281,2,4,71428124471的因数为，4961,2,4,8,18,31,62,124,2449612481831621242488的因数为8,12(18000)第四个完美数是多年前33,550,336(1538)第五个完美数是年8,589,869,056(1588)第六个完美数是年完全数有许多有趣的性质：1.它们都能写成连续自然数之和：6=1+2+3,28=1+2+3+4+5+6+7,496=1+2+3+4+......+31,8128=1+2+3+4+......+1272.2.它们的尾数都是6或83.它们的全部因数的倒数之和都是2。1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=21/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=24.它们都可以表达为2的一些连续整数次幂之和。126222342822267812812822225.迄今为止，发现的完全数全是偶数，还没有发现一个奇完全数，但也没有证明奇完全数不存在。6.迄今为止，发现的完全数都具有以下的形式：12(21)nnN21nn（其中与都是素数）物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用途，但完美数的奇异和美丽吸引了许多人。2.亲和数最简单的一对亲和数是220和284：220的全部正约数（不包括220）加起来：2841+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284的全部正约数（不包括284）加起来：2201+2+4+71+142=1636年，皮勒17296和18416本.科拉建立亲和数公式:1750年,欧拉宣布60对亲和数！1866年,巴格尼（16岁）1184和1210如今已发现1200对亲和数，其中最大的是111448537712和118853793424.3.完全平方数一个整数的平方称为完全平方数，简称平方数。如：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、……哪些情况出现完全平方数？斐波那契数列与黄金分割241.兔子问题假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，假定这些兔子都不发生死亡现象，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？兔子问题：第一个月是一对小兔子，如上繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数01123581321345589小兔对数1011235813213455到十二月时有大兔子89对，小兔子55对，共有兔子89+55=144对。（三点规律）规律兔子对数1123581321345589144后人为了纪念兔子繁殖问题的斐波拉契，将这个兔子数字称为斐波纳契数列.262．斐波那契数列1）公式用表示第个月大兔子的对数，则有二阶递推公式（“一阶”、“二阶”）nF12121,3,4,5nnnFFFFFnn272）斐波那契数列令n=1,2,3,…依次写出数列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。1[]5nF=-n+1n+11+51-5（）（）22该公式由18世纪初法国数学家比内（Binet）给出意义：每项都是整数，但通项公式中含无理数性质1（斐氏数列）通项公式3.斐波拉契数列的性质151lim2nnnFF+-=(黄金比)性质2（斐氏数列相邻两项之比）nnnn+1n+1n+1nnF2[（1+5）]-（1-5）]=F（1+5）]-（1-5）1-52[1-（）]1+5=1-5（1+5）-（）（1-5）1+5证明：1[]5nF=-n+1n+11+51-5（）（）22这反应了斐氏数列与黄金比的一致性，它由希姆松（Simson,R）1753年发现.n1-5当n→∞时，（）→0，1+5\n-1nF25-1→==0.618F21+5证明：(黄金比)性质2（斐氏数列相邻两项之比）151lim2nnnFF+-=（1）．自然界中的斐波那契数斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子。1）.花朵的花瓣中存在契氏数列特征生物学家们发现，花瓣数是极有特征的.多数情况下，花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,55,89,144…这些数恰好是婓波拉契数列中的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花；许多翠雀属植物有8瓣花；万寿菊的花有13瓣，紫莺属的植物有21瓣花；大多数雏花有34,55,89瓣花332）树杈的数目1385321134向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。2．连分数这不是一个普通的分数，而是一个分母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常称这样的分数为“连分数”。11111111x对照可算得312412341111213,,,1111235111111111111uuuuvvvv11111111x37发现规律后可以改一种方法算，例如顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为其分子恰是菲波那契数列；有无极限？1111nnnnuuvv56455645115118,,35813111158uuuuvvvv11112358,,,,,,,,,1235813nnnnuuvv3851112111111什么是黄金分割？黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618:1或1:0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。五、优选法1．华罗庚的优选法（“0.618法”）二十世纪六十年代，华罗庚先生着力推广的优选法，在全国产生了很大的影响。“优选法”，即对某类（单峰函数）单因素问题，用最少的试验次数找到“最佳点”的方法。表面上看来，似乎这就是最好的方法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验方法并不是最好的方法；每次取试验区间的0.618处去做试验的方法，才是最好的，称之为“优选法”或“0.618法”。华罗庚证明了，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案。第三讲令人深思的悖论与三次数学危机1.悖论的定义：从“正确”的前提出发经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。“悖论”这个词的含义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。2.悖论的意义：悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。悖论在“荒诞”中蕴含着哲理，可以给人以启迪，给人奇异的美感。从惊讶到思考——数学悖论奇景马丁·加德纳第一章逻辑学悖论克里特人伊壁孟德说谎者悖论徽章和涂写一句话和他的反话发狂的计算机无穷的倒退柏拉图—苏格拉底悖论爱丽斯和红色国王鳄鱼和