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数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。（一）语言美数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括：1数的语言——符号语言关于“∏”，《九章算术》如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sin∂、∞等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。2形的语言——视角语言从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值”让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。（二）简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？！在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2πR勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方+=。正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。庞加莱指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。（四）、和谐美美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一．和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性．没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。——Carus,Paul数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。欧拉公式：，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是――（１）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”。和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比，即０.61803398…。在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体温）约为0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。与有关的问题还有许多，“黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。（四）奇异美全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数，不合理地把b约去得到，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。还有一些“歪打正着等式”，比如人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，形成的是椭圆．当ｅ＞１时，形成的是双曲线．当ｅ＝１时，形成的是抛物线．常数ｅ由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。（五）对称美在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。梯形的面积公式：Ｓ＝，等差数列的前ｎ项和公式：，其中ａ是上底边长，ｂ是下底边长，其中ａ１是首项，ａｎ是第ｎ项，这两个等式中，ａ与ａ１是对称的，ｂ与ａｎ是对称的。h与n是对称的。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。（六）创新美欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何。黎曼几何学没有平行线。这些与传统观念相违背的理论，并不是虚无飘渺的，当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的广义相对论中，较多地利用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难。每一个理论都在需要不断创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受的难到不是切入肌肤的美吗？如果我们再大胆设想一下，是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢？事实上，通过高斯曲率可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中，还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来。在不断创新的过程中，数学得到了发展。（七）统一美数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k（a1，a2，a3，a4为实数）的数，其中ｉ、ｊ、ｋ如同复数中的虚数单位。若a3＝a4＝０，则四元数a1+a2i+a3j+a4k是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。（八）类比美解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行。考虑方程我们知道，它是一个圆。圆的完美形状，对称性，无终点等都存在在哪里呢？在方程之中！例如，与对称，等等。代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个代数方程的性质中，我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下述方程呢？以及形如的方程呢？这是一个伟大的进步。仅仅靠类比，就从三维空间进入高维空间，从有形进入无形，从现实世界走向虚拟世界。这是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程：道通天地有形外，思入风云变态中。（九）抽象美、自由美从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。正如开普勒所说的：“对于外部世界进行研究的主要目的，在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的”。数学的第一特征在于她具有抽象思维的能力，在数学中所处理的是抽象的量，是脱离了具体事物内容的用符号表示的量。它可以成为任何一个具体数的代数，但它又不等于任何具体数。比如“N”表示自然数，它不是N个岗位，N只鸡或N张照片……也不是哪一个具体的数，分不清是0？是1？或者说100？……“知道”中蕴含着“不知道”，“具体”中充满了“不具体”，它就是这样一个抽象的数！达·芬奇是15至16世纪的一位艺术大师和科学巨匠。他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”历史上不少著名人物都迷恋音乐，大数学家克兰纳克就是一例。一位数学王子何以如此迷恋音乐？原因也许是多方面的，依我看，最重要的一点就是数学和音乐均为一种抽象语言，它们都充满了抽象美、自由美。而且，数学和音乐还是两个人造的金碧辉煌的世界，前者仅用十个阿拉伯数字和若干符号便造出了一个无限的、绝对真的世界，后者仅用五条线和一些蝌蚪状的音符就造出了一个无限的、绝对美的世界。如果说，音乐是人类感情活动最优美的表现，那么数学便是人类理性活动最惊人的产品。（十）辩证美熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言以及简明的数学公式能明确地表达出各种辩证的关系和转化。例如：初等数学中：点与坐标的对应；曲线与方程之间的关系；概率论和数理统计所揭示出的事物的必然性与偶然性的内在联系等。以及高三数学里所涉及的：极限概念，特别是现代的极限语言，很好地体现了有限与无限，近似和精确的辩证关系；牛顿——莱布尼茨公式描述了微分和积分两种运算方式之间的联系和相互转化等等。这类事例在数学中比比皆是。当然，要真正掌握好“数学美”，仅仅知道一些数学知识还是远远不够的，还必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系，建立和运用它们之间的联系和转化。唯其如此，才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量。数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是综合利用了各种关系并对他们进行过适宜的转化而成的。掌握了“两优择其重，两劣择其轻”这一辩证的比较思想，我们就掌握了解这类题目的钥匙。其实，全部数学无处不在贯彻“两优择其重，两劣择其轻”这一原则。数学无处不体现着辩证法，数学家们无时不在用辩证的眼光看问题。陈省身教授80年代在北大讲学时说：“人们常说，三角形内角和等于180°，但是，这是不对的！”……“说三角形内角和为180°不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对。应该说三角形外角和是360°！把眼光盯住内角，只能看到：三角形内角和是180°；四边形内角和是360°；五边形内角和是540°……n边形内角和是（n-2）*180°，虽然