数学模型第三版(高等教育)课后习题答案

第一章作业解答第1页共35页《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k时段的价格1ky由第1k和第k时段的数量1kx和kx决定，如果仍设1kx仍只取决于ky，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1ky由1kx和kx决定之外，1kx也由前两个时段的价格ky和1ky确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：)()2(111kkkkkyhxxxfy在),(000yxP点附近用直线来近似曲线hf,，得到)2(0,)()1(0),2(0010101yyxxxxxyykkkkk由（2）得)3()(0102yyxxkk（1）代入（3）得)2(0102xxxxxkkk0012222xxxxxkkk对应齐次方程的特征方程为022特征根为48)(22,1当8时，则有特征根在单位圆外，设8，则第一章作业解答第2页共35页248)()4(2222,1212,1即平衡稳定的条件为2与207P的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000yxP处附近的直线近似表达式分别为：)5(0,)2()4(0),2(01010101yyyxxxxxyykkkkkk由（5）得，)()yyyβ(y)x(xkkk62010203将（4）代入（6），得)2()2()(20101203xxxxxxxxkkkkk001234424xxxxxxkkkk对应齐次方程的特征方程为(7)02423代数方程（7）无正实根，且42,,αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,，则424321133221321对（7）作变换：,12则,03qp其中)6128(41),122(412233322qp第一章作业解答第3页共35页用卡丹公式：33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2pqqwpqqwpqqwpqqwpqqpqq其中,231iw求出321,,，从而得到321,,，于是得到所有特征根1的条件.2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy和)2(11kkkyygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy和)2(11kkkyygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)(00xxyykk----------------------（1）0,)2(0101yyyxxkkk--------------------（2）从上述两式中消去ky可得,2,1,)1(22012kxxxxkkk，-----------（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022容易算出其特征根为48)(22,1---------------（4）当8时，显然有第一章作业解答第4页共35页448)(22-----------（5）从而22，2在单位圆外．下面设8，由(5)式可以算出22,1要使特征根均在单位圆内，即2,11，必须2．故0P点稳定平衡条件为2．3．已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)2(0101xxxyykkk--------------------（1）0,)(001yyxxkk-------------------（2）由（2）得)(0102yyxxkk--------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102xxxxxkkk,2,1,2220012kxxxxxkkk，--------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022容易算出其特征根为48)(22,1---------------（4）当8时，显然有第一章作业解答第5页共35页448)(22-----------（5）从而22，2在单位圆外．下面设8，由(5)式可以算出22,1要使特征根均在单位圆内，即2,11，必须2．故0P点稳定平衡条件为2．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1．证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质：（1）A的秩为1，唯一非零特征根为n；（2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量.证明：（1）由一致阵的定义知：A满足ikjkijaaa，nkji,,2,1,,于是对于任意两列ji,，有ijjkikaaa，nk,,2,1.即i列与j列对应分量成比例.从而对A作初等行变换可得：00000011211nbbbA初等行变换B这里0B.1B秩，从而秩1A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使BPA，于是0000001121111ncccBPPAPC易知C的特征根为0,,0,11c（只有一个非零特征根）.第一章作业解答第6页共35页又A～C，A与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为11c，又对于任意矩阵有naaaATrnnn111221121.故A的唯一非零特征根为n.（2）对于A的任一列向量Tnkkkaaa,,,21，nk,,2,1有TnkkknkkknjnknjknjknjjknjnjjkjnjjkjTnkkkaaannananaaaaaaaaaaaaaA,,,,,,2121112111121121A的任一列向量Tnkkkaaa,,,21都是对应于n的特征向量.7.右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为332541.所以此竞赛图是双向连通的.32154135424213541325等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为0011110100000010110001010A令Te1,1,1,1,1，各级得分向量为TAeS3,2,1,2,21，TASS5,4,2,3,412，TASS9,7,4,6,723，TASS17,13,7,11,133421345第一章作业解答第7页共35页由此得名次为5，1（4），2，3（选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根和对应特征向量S得到：8393.1，TS2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验．对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次.目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次；一越海方案的最优经济效益省时收入岸间商业当地商业建筑就业建桥梁修隧道设渡轮第一章作业解答第8页共35页致性指标的定义为：1nnCI．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根=n．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m2．第一种办法是m2个位置，单钩放置m2个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置m2个钩子．①由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为nmnmD21112当mn2较小，1n时，有mnmnnmnmD41181211122ED1，mnE4②下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1；任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11；记mqmp11,1．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空第一章作业解答第9页共35页的概率为nq，其空钩的数为m2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1nnpq，其空钩数为m．所以一个周期内通过的m2个钩子中，空钩的平均数为1122nnn