江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学初中数学教学论文求线段长度最值的常用方法

1求线段长度最值的常用方法求线段长度的最值在中考试题中屡有涉及，它能考查（了）学生的综合应用能力。解决这类问题通常可以从数、形两种角度来思考（着手）。一、从形的角度就是借助图形的直观性，应用一些已知的定理或性质来解决。1.利用“垂线段最短”性质例1（2011衢州中考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A、1B、2C、3D、4分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PA=PQ=2，故选B．2.利用“两点之间，线段最短”例2(2010深圳中考)如图，在连长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm.QPDCBA2分析：在△PBQ中，BQ=1是定值，所以欲使△PBQ周长最小，只须PB+PQ最小，连接PD，PB=PD,从而可看到点P在运动过程中，当Q、M、D在一条直线时最短。解答：连接PD，DQ易知：PB=PD。MABCDPQ在△PDQ中，PD+PQ＞DQ由图形知，当P运动到DQ与AC交点M时，即为最小，此时PB+PQ=PD+PQ=DQ=222+1=5所以△PBQ周长最小值=5+1例3（2012山东济南中考）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．21B．5C．1455D．52分析：取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．解答：解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1，DE=2222112ADAE，∴OD的最大值为：21．故选A．3.利用直角三角形性质例4（江苏扬州2012中考）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE的最小值是。3CEDBA分析：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，比较特殊。分别作这两个三角形底边的高，构造出直角梯形，从而构造出以DE为斜边的直角三角形，其中一直角边为定值。解答：过D、E分别作DG⊥AB、EF⊥AB，垂足分别为G、F。过D作DH⊥EF,垂足为H.又∵△ACD和△BCE为等腰直角三角形。∴1111222GFGCCFACBCAB易知：四边形DGFH为矩形，DH=GF=1。在直角△DEH中，DH为定值，222DEDHEH欲使DE最小，显然只需EH最小。所以只需EH=0,即E点和H点重合。此时DE=DH=1。HGFABDEC例5（2011黑龙江大庆中考）已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上的点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．2分析：画出图形，连接AB、OB、OA，可得直角三角形，其中OB=1是定值。利用勾股定理可得。lOB'BA'A4解答：连接OB、AB、OA，在Rt△ABO中，OB=1，AB=22OAOB=221OA欲使AB最小，只须OA最小，点O到直线l的垂线段O'A即为最小。此进AB=22OAOB=2221=3故选择C.4.综合应用以上几种性质（以上两种或三种性质综合应用）例6（2011辽宁本溪中考）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A、2B、4C、22D、42QPEDCBA分析：这里两个点P、Q都是动点，直接利用图形看不出来。先保持点P不动，找出点Q的位置，再保持点Q不变，找出点P位置。P''P'ABCDEPQ解答：在AC上截取'AP=AP，则可得：PQ='PQ。此时DQ+PQ=DQ+'PQ，欲使DQ+'PQ最小，Q必然在'P、D的所在的直线上，此时DQ+PQ=DQ+'PQ='PD。保持点Q在线段'PD上不变，点P在AD上移动，则'P必然在AC相应移动，'PD的最小值就是点D到AC垂线段DP。此时DP=2214+4=222故选择C。二、从数的角度就是将所要求的线段用代数式表示出来，（就是用代数式将所要求的线段表示出来，）利用函数方法求出代数式的最大（小）值。5例7（江苏扬州2012中考）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE的最小值是。CEDBA分析：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，可得△DCE为直角三角形，由AC+BC=2，设,ACx从而可求出DE的代数式，求得最小值。解答：设,ACx则2BCx。依题意得：222DCADAC222DCx222xDC同理：22(2)2xCE在直角三角形DCE中，222DEDCCE22(2)22xx224422xxx222xx2(1)1x所以：当1x时，DE有最小值1.综上所述，求线段的最值时，要尽量（综合）利（应）用图形的性质，同时也要能从（注意考虑从）数的角度思考和（来）解决问题。