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常州市教育学会学业水平监测高三数学试题2012年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1、已知集合错误！超链接引用无效。，若错误！超链接引用无效。,则实数错误！超链接引用无效。的值为。2、若错误！超链接引用无效。（错误！超链接引用无效。为虚数单位），则复数错误！超链接引用无效。=。3、已知错误！超链接引用无效。双曲线错误！超链接引用无效。的一条渐近线的倾斜角为错误！超链接引用无效。，则错误！超链接引用无效。的值为。4、用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人。若该校高三年级共有学生400错误！超链接引用无效。人，则该校高一和高二年级的学生总数为人。5、用3种不同的颜色给图中的3个矩形错误！超链接引用无效。随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是。6、函数错误！超链接引用无效。的最小正周期为。7、在平面直角坐标系错误！超链接引用无效。中，已知椭圆错误！超链接引用无效。的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若错误！超链接引用无效。，则该椭圆的离心率的值为。8、已知等比数列错误！超链接引用无效。的各均为正数，且错误！超链接引用无效。，则数列错误！超链接引用无效。的通项公式为。9、设错误！超链接引用无效。，已知函数错误！超链接引用无效。，若曲线错误！超链接引用无效。在错误！超链接引用无效。处的切线恒过定点P，则点P的坐标为。10、对于函数错误！超链接引用无效。，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数错误！超链接引用无效。与错误！超链接引用无效。的图象关于直线错误！超链接引用无效。对称；（2）若错误！超链接引用无效。，则函数错误！超链接引用无效。的图象关于直线错误！超链接引用无效。对称；（3）若错误！超链接引用无效。，则函数错误！超链接引用无效。是周期函数；（4）若错误！超链接引用无效。，则函数错误！超链接引用无效。的图象关于点（0,0）对称。其中所有正确命题的序号是。11、设函数错误！超链接引用无效。在R内有定义，对于给定的正数错误！超链接引用无效。，定义函数错误！超链接引用无效。，若函数错误！超链接引用无效。，则当错误！超链接引用无效。时，函数错误！超链接引用无效。的单调减区间为。12、已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则错误！超链接引用无效。的最大值为。13、已知函数错误！超链接引用无效。，且错误！超链接引用无效。，其中错误！超链接引用无效。为奇函数，错误！超链接引用无效。为偶函数。若不等式错误！超链接引用无效。对任意错误！超链接引用无效。恒成立，则实数错误！超链接引用无效。的取值范围是错误！超链接引用无效。。14、已知错误！超链接引用无效。均为正实数，记错误！超链接引用无效。，则错误！超链接引用无效。的最小值为。二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤。[来源:]15.（本小题满分14分）已知错误！超链接引用无效。、错误！超链接引用无效。,向量错误！超链接引用无效。。（1）当错误！超链接引用无效。时，若错误！超链接引用无效。，求错误！超链接引用无效。的取值范围；（2）若错误！超链接引用无效。对任意实数错误！超链接引用无效。恒成立，求错误！超链接引用无效。的取值范围。[来源:]错误！超链接引用无效。16．（本小题满分14分）如图，斜三棱柱错误！超链接引用无效。中，侧面错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。底面ABC，侧面错误！超链接引用无效。是菱形，错误！超链接引用无效。，E、F分别是错误！超链接引用无效。、AB的中点。求证：（1）EF∥平面错误！超链接引用无效。；（2）平面CEF⊥平面ABC。错误！超链接引用无效。[来源:]17．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列错误！超链接引用无效。的前错误！超链接引用无效。项和为错误！超链接引用无效。，满足错误！超链接引用无效。，且错误！超链接引用无效。依次是等比数列错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。的前三项。（1）求数列错误！超链接引用无效。及错误！超链接引用无效。的通项公式；（2）是否存在常数错误！超链接引用无效。且错误！超链接引用无效。，使得数列错误！超链接引用无效。是常数列？若存在，求出错误！超链接引用无效。的值；若不存在，说明理由。18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系错误！超链接引用无效。中，已知圆错误！超链接引用无效。与错误！超链接引用无效。轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为错误！超链接引用无效。。记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为错误！超链接引用无效。右焦点、短半轴长为错误！超链接引用无效。（错误！超链接引用无效。为常数）的椭圆为D。（1）求错误！超链接引用无效。⊙C和椭圆D的标准方程；（2）当错误！超链接引用无效。时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；（3）已知错误！超链接引用无效。点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与错误！超链接引用无效。轴不垂直的直线交椭圆D错误！超链接引用无效。于P、Q两点（点P在错误！超链接引用无效。轴上方），点P关于错误！超链接引用无效。轴的对称点为N，设直线QN交错误！超链接引用无效。轴于点L，试判断错误！超链接引用无效。是否为定值？并证明你的结论。[来源:学§科§网]19．（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为错误！超链接引用无效。的正方形，周围是四个全等的弓形。已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上错误！超链接引用无效。，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H。设弧AD的长为错误！超链接引用无效。，错误！超链接引用无效。。（1）求错误！超链接引用无效。关于错误！超链接引用无效。的函数关系式；（2）定义比值错误！超链接引用无效。为招贴画的优美系数，当优美错误！超链接引用无效。系数最大时，招贴画最优美。证明：当角错误！超链接引用无效。满足：错误！超链接引用无效。时，招贴画最优美。错误！超链接引用无效。20．（本小题满分16分）设错误！超链接引用无效。为实数，函数错误！超链接引用无效。。（1）当错误！超链接引用无效。时，求函数错误！超链接引用无效。在区间错误！超链接引用无效。上的最大值和最小值；（2）求函数错误！超链接引用无效。的单调区间。常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）2012年1月21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出错误！超链接引用无效。文字说明、证明过程或演算步骤.A。选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如错误！超链接引用无效。图，⊙O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交⊙O于点E，H为△ABC的垂心。求证：DH=DE。错误！超链接引用无效。B。选修4-2：矩阵与变换错误！超链接引用无效。（本小题满分10分）求矩阵错误！超链接引用无效。的特征值及对应的特征向量。C。选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，O为极点，求过圆C：错误！超链接引用无效。的圆心C且与直线OC垂直的直线错误！超链接引用无效。的极坐标方程。D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知错误！超链接引用无效。均为正实数，求证：错误！超链接引用无效。≥错误！超链接引用无效。。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。http22．已知斜率为错误！超链接引用无效。的直线错误！超链接引用无效。过抛物线错误！超链接引用无效。的焦点F且交抛物线于A、B两点。设线段AB的中点为M。（1）求点M的轨迹方程；（2）若错误！超链接引用无效。时，点M到直线错误！超链接引用无效。（错误！超链接引用无效。为常数，错误！超链接引用无效。）的距离总不小于错误！超链接引用无效。，求错误！超链接引用无效。的取值范围。[来源:]23．已知正项数列错误！超链接引用无效。中，错误！超链接引用无效。。用数学归纳法证明：错误！超链接引用无效。。错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。错误！超链接引用无效。