数控技术中的曲线曲面算法

曲线、曲面的等距算法及其在数控加工中的应用摘要：主要的传统插补算法(直线、圆弧插补)已经越来越不能满足现代高速高精加工的需求,本文通过对数控加工的研究,发现数控插补算法是制约高速AO精加工的关键因素,NURBS曲线能统一地表达自山曲线曲面和解析曲线曲面,其直接插补能避免传统插补算法的很多问题,有效解决插补算法与现代高速高精加丁的矛盾。推导了NURBS曲线、曲面的各阶导矢、等距曲线曲面的各阶导矢及其曲率的计算公式,分析了参数曲线曲面线性插值误差,讨论了插值等距曲线曲面上点的采样原则,B样条形式表达的插值曲线曲面的求解方式以及减少B样条形式表达的插值曲线曲面的数据冗余的方法,并将上述理论应用于两轴联动行切加工的刀位计算。关键字：数控技术;五轴联动;NURBS曲线插补;NURBS曲线曲面;等距曲线曲面;误差分析;数控加工Abstract:themaintraditionalinterpolationalgorithms(linear,circularinterpolation)can'tmeetthemodernhighspeedandhighprecisionmachiningrequirementsmoreandmore.BasedontheCNCmachiningresearch,wefindthatthekeyfactorstorestricthighspeedandhighprecisionmachiningistheinterpolationalgorithm.NURBScurvecanexpressthefree-formcurveandsurface,andanalyticcurveandsurfacebyuniform.BasedonthefactthatNURBScurvedirectlyinterpolationtechnologycanavoidtraditionalinterpolationalgorithmformanyproblems,itcaneffectivelysolvethecontradictorybetweentheinterpolationalgorithmandmodernhighspeedandhighprecisionmachining.DerivedNURBScurvesandsurfacesofeachorderderivativevector,offsetcurvesandsurfacesofthefirstderivativeofthecurvaturevectoranditsformula,parametriccurvesandsurfacesanalyzedlinearinterpolationerrorisdiscussedinterpolationpointsoncurvesandsurfacesequidistantsamplingprinciples,expressedintheformofB-splinecurvesandsurfacestosolvetheinterpolationmethodsandreducetheexpressionofB-splineinterpolationofcurvesandsurfacesintheformofdataredundancymethod,andthetheoryisappliedtotwo-axismachiningtoolknife-bitcomputing.1.绪论数控技术是支持现代装备制造业的关键性技术，决定着制造装备的功能和性能。其中，参数曲线、参数曲面插补是现代数控系统的标志性功能。作为数控技术的核心，插补技术尤其是参数曲线、参数曲面插补及加减速控制算法的运算精度和速度对现代数控系统性能优劣起着决定性作用。本文就这两方面问题进行深入的理论和应用研究。以一、二阶泰勒展开式参数曲线插补算法和平面参数曲线插补算法研究为基础，提出引入误差补偿值的复杂空间参数曲线高精度插补算法以实现空间曲线的高精度插补。通过引入误差补偿值以提高参数曲线插补点的求解精度，在求解过程中对误差补偿值进行合理简化以降低插补计算量。Nurbs曲线仿真实例证明在满足实时性的前提下，该算法所计算的插补点参数值误差精度有明显提高。在对参数线法加工曲面研究的基础上，提出引入误差补偿值的两类参数曲面高精度刀轨规划算法以实现对缓变参数曲面和平移扫描曲面的高精度插补。通过引入误差补偿值以提高参数曲面在走刀方向上插补点的计算精度；针对缓变参数曲面曲率缓变和平移扫描曲面扫描轮廓沿扫描线平行的特点在运算过程中对插补点参数值的计算结果进行合理简化。参数曲面仿真实例证明在满足实时性的前提下，由该算法所计算的插补点参数值误差明显降低。以等残余高度刀具轨迹规划算法为基础，提出带有误差补偿值的复杂参数曲面高精度刀轨误差补偿算法以实现复杂参数曲面的高精度插补。通过引入误差补偿值以提高复杂参数曲面插补点求解精度，针对复杂参数曲面数控加工特点合理简化求解结果以降低插补运算量。复杂参数曲面仿真实例表明，该算法可在满足系统实时性的前提下，显著提高复杂参数曲面插补点参数值的计算精度。在对三角函数加减速控制算法研究的基础上，提出改进的三角函数加减速控制算法。利用加减速位移曲线函数的表达式保证位移、速度、加速度、加加速度曲线的连续性。算法性能分析表明改进的三角函数加减速控制算法在保证三角函数算法优点的基础上，有效解决了三角函数加减速算法运算复杂的问题，使零件的加工精度、工效提高，机床加工运行的平稳性得到有效保证。根据上述算法在八轴五联动数控系统开发中引入参数曲线、参数曲面插补算法及改进的三角函数加减速控制算法模块，可对数控系统的参数曲线、参数曲面的高速、高精加工形成有力支持。NURBS曲线曲面及其等距曲线曲面在CAGD中扮演着重要的角色.但长期以来,由于人们缺乏对NURBS曲线曲面的应用经验,在多数场合不得不将其转化为分段分片Bezier曲线曲面后进行处理,其根本原因是缺乏综合应用NURBS曲线曲面配套技术的能力.文中的所有算法,均是在NC加工中,为寻求的基于B样条形式表达的等距逼近曲线曲面,而总结得到.随着经济的迅猛发展,我国已成为世界第二制造与出口大国,然而却还不是制造强国。制约卷我国向制造强国迈进的一个重要因素就是五轴联动数控技术,它是船舶、航天航空、模具、高精密仪器等民用工业和军工迫切需要的重要战略装备。五轴联动数控技术是多轴联动加工技术中难度最大、应用范围最广的技术,其插补算法是多轴联动数控系统的核心,是数控系统发挥作用的基础。五轴联动描补算法逐渐成为世界各国科研人员重点研究的对象,发达国家一直对我国进行技术封锁,各数控公司竭力保密其核心部分。为打破大国对我国的技术封锁,我们必须自主研发轴联动数控技术。为此,研究NURBS曲线、曲面算法及实现方式具有重要意义。2.NURBS曲线曲面的各阶导矢以及曲率的求解导矢计算是NURBS曲线曲面的最基本配套算法之一,是一切与导矢相关的算法的基础.由于NURBS用有理分式表达,故不能直接应用求导矢的德布尔算法.LesAPiegl在[1]中总结了它们的求解算法,巧妙地将NURBS曲线曲面各阶导矢计算转化为对B样条曲线曲面各阶导矢计算.但是,在一些最新的出版物上,一些专家仍通过对基函数的求导来求解NURBS曲线曲面各阶导矢,计算相当烦琐,故有必要重申LesA.Piegl在[l]中的算法.2.1NURBS曲线的各阶导矢的计算NURBS曲线C(u)可表达为若分别以分别表示两个B样条曲线,则对C(u)的一阶导矢的求解,在某种程度上转化为对B样条曲线一阶导矢计算高阶导矢为上式中Ai（u）与wi的i阶导数可运用B样条曲线求导矢的德布尔算法。2.2NURBS曲面的各阶导矢的计算NURBS曲面S(u,v)可表达为若令分别表示两个B样条曲面，则曲面S(u,v)一介偏导矢可表达为a代表u或v。二阶导矢为—(5)高于二阶的偏导矢可参阅尔算法,算法参见阶偏导数可利用B样条曲线求导矢的德布尔算法。2.3NURBS曲线曲率的计算由参数曲线的基本理论知:参数上一点的曲率2.4NURBS曲面曲率(主曲率)的计算曲面的曲率概念由曲面上曲线的曲率引入的.计算中,法截线的法曲率kn的最大值k1,与最小值k2称为主曲率.而k1、k2可由下式计算3等距曲线曲面上点的各阶导矢自由曲线、曲面上的等距曲线、曲面上点及其各种特性可由本节介绍的方法精确求解.但如果想将等距曲线曲面表达为B样条形式,则只能在一定的精度下,通过采样、插值来重构.本节主要讨论点的精确解.3.1等距曲线曲面的一般表达一般意义上的参数等距曲线曲面可表达为d(u)、试u,v)分别是要偏置的距离.通常,取d(u)、d(u,v)为一常数d，以下的推导中，d(u)、d(u,v)均取为常数d.3.2等距曲线的一、二阶导矢的求解B代表曲线的副法矢、N代表曲线的法矢(更准确的说是主法矢),且。3.3等距曲面So(u,v)的各阶导矢的求解在等距曲面So(u,v)的各阶导矢计算中,S(u,v)的各阶导矢计算如1.2所述,其关键是解决法矢N(u,v)的各阶导矢计算.文献[3]中给出计算公式，己知若令m的一、二阶导数为m的一、二阶导数为单位法失N=Mm的一二阶导矢为等距曲面So(u,v)的一、二阶导矢为4参数曲线曲面线性插值误差分析4.1参数曲线线性插值误差分析假设,参数域L上两端点A,B,且B=A+d.对于任何口连续的曲线C,若曲线C与线性插值直线l满足：C(A)=l(A),C(B)=l(B),则在参数域L上,线性插值直线与曲线的最大误差为4.2参数曲面线性插值误差分析假设,参数域T上三端点A,B,C,且B=A+(l1,0),C二A+(0,l2).对于任何已连续的曲面S,若曲面S与线性插值平面l满足:S(A)=l(A),S(B)=l(B),S(C)=l(C),则在△ABC的参数域T上,线性插值平面与曲面的最大误差为若用离散的三角面插值一张C2连续的曲面S,且它们有相同的参数化,则在给定的最大误差ε下,沿各个参数的步长△u、△v应满足5插值等距曲线曲面上点的采样原则采样的目的之一是为了插值重构曲线曲面.但如何采样,如何保证插值得到的曲线曲面的精度?LesAPiegl采用的方法是,首先将“源”NURBs曲线曲面分裂为分段、分片Bezier曲线曲面,接着由各段、各片曲线曲面的最大二阶导矢来确定采样点的数目,但如何合理的将NURBS曲线曲面分裂为分段、分片Bezier曲线曲面尤其值得推敲.本文采用的方法有别于LesA.Piegl.将尽量减少曲线曲面的分裂,且不要求分裂为分段、分片Bezier曲线曲面.依据等距曲线、曲面的二阶导自适应调整采样步长.算法中的规定如下:·插值等距曲线曲面与“源”曲线曲面采用一致的参数化.·曲线曲面分裂的原则.被采样等距曲线曲面的连续性受“源”曲线曲面节点处的重复度及基函数次数的影响.凡“源”曲线曲面节点处不满足c,连续,则进行分裂处理.·所有“源”曲线曲面定义域内的节点对应的插值等距曲线曲面的节点都要被采样.·在对应的“源”曲线曲面定义域内相邻两节点间,由等距曲线曲面最大二阶导矢确定应采样步长(点数).最大二阶导矢的计算可采用离散取点,从中取最大.取点数建议为2(p+l).步长大小由误差决定.6样条形式表达的插值等距曲线曲面的求解插值曲线、曲面的次数原则上不大于被采样曲线、曲面的次数,推荐次数为3.插值曲线、曲面的端点切矢、跨界导矢以及角点混合导矢的计算可参见上面几节.7减少B样条形式表达的插值曲线曲面的数据冗余采用以上采样、插值方法得到的曲线、曲面数据量通常很大,且有较大的数据冗余.消减冗余数据最有效和可行的办法是节点消去.节点消去算法在[l]中已有详细介绍,关键是在给定的精度下,判断节点的可消去性.判断思路如下所述:由于在消去节点的计算中,计算新控制顶点的方程数比所求控制顶点数多一,故可以通过任取两组相异满秩方程组求解出两组新控制顶点.若两组新控制顶点中,对应点间的精度小于给定的控制精度,则节点可去