matlab在数学分析中的应用

毕业论文（2015届）题目MATLAB在解决数学分析中图形问题的应用学院数学计算机学院专业信息与计算科学年级学生学号学生姓名指导教师2015年5月8日MATLAB在解决数学分析中图形问题的应用数学计算机学院信息与计算科学专业2015届冯铄摘要：本文试图探讨运用MATLAB操作平台的命令函数和绘图语句的特点，将《数学分析》中抽象的、难以理解的图形（例如：螺旋曲线），以及难以靠手工绘制得到理想图形的，用MATLAB来解决。并介绍MATLAB在这些方面的使用方法和技巧，从而达到事半功倍的效果。关键词：MATLAB；数学分析；图形；命令函数；方法中图分类号：TP311.1TheApplicationofGraphicsProbleminMathematicalAnalysisSolvedbyMATLABAbstract:Thepaperdiscussesthecommandfunctionandthegraphicscharacteristics,andsolvestheabstract,confusedgraphicswhichishardtopaintbyhandinmathematicalanalysisbyMATLAB.Andthen,thepaperintroducesitsmethodsandskillstomakeproblemseasier.Keywords:MATLAB;mathematicalanalysis;graph;Commandfunction;Method目录1引言12MATLAB简介13实例与分析23.1二维图形23.1.1初等函数33.1.2分析函数xxxxxf211当x→0,1时的变化趋势43.1.3研究Dirichlet核的性质53.1.4二重积分∬𝑒−(𝑥2+𝑦2)𝑑𝜎𝐷相关问题53.1.5曲面积分∬√1+4𝑥2+4𝑦2𝑑𝑠∑相关问题73.2三维图形83.2.1螺旋曲线83.2.2马鞍面93.2.3莫比乌斯带93.2.4二元函数z=3(x−1)2𝑒−(𝑥+1)2−𝑦2的相关问题113.2.5三重积分的符号计算及其MATLAB程序113.3空间曲线曲面相关问题133.3.1空间曲线的切线和法平面的实验133.3.2空间曲面的切线和法平面的实验143.4MATLAB在数学分析中的其他方面应用173.4.1计算交错级数111)1(nnn的和173.4.2计算收敛问题173.4.3函数的10阶Taylor级数展开式18结束语19参考文献19致谢191MATLAB在解决数学分析中图形问题的应用1引言计算机技术的迅猛发展使得数学在自然科学,工程技术,经济管理和人文社会科学中越来越成为解决实际问题的重要工具.在数学分析的学习和研究中,常常会遇到二维图形、三维图形、极坐标图形、对数坐标图形的绘制,这类图形的绘制往往繁冗复杂,仅凭手工绘制难以达到精确的效果,尤其是遇到需要准确的图形才能解答的问题.把计算机技术用于其中，则可以使我们能更好更快的理解和完成数学分析中遇到的复杂图形问题,于是数学软件就应运而生.其中MATLAB就是一个功能强大的数学软件,它的功能之一就是分析数据和把数据可视化,为算法和应用程序开发提供了核心的数学高级图形工具.它所具有的数值计算功能、符号计算功能以及可视化建模、仿真功能体现了其它同类软件难以比拟的优势,而它的图形功能更加彰显了MATLAB的智能化和自动化的优越性.且MATLAB对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求较低,编程效率和计算效率又极高,还可以在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝,的确不失为一个方便高效的高质量数学工具.此次通过用MATLAB来解决数学分析中遇到的实际问题,来展示MATLAB在处理复杂图形的效果和能力.2MATLAB简介MATLAB]1[是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分.MATLAB是matrix和laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂.是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境.它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案,并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计2语言（如C、Fortran）的编辑模式,代表了当今国际科学计算软件的先进水平.MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C、FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多.3实例与分析数学分析是高等院校数学类专业（数学与应用数学、信息与计算科学）最重要的基础课程之一，对常微分方程、实变函数、泛函分析等后继课程的学习影响很大.而初入大学的学生普遍对数学分析这门课程的高度抽象性感到迷惑，而使用MATLAB编程计算相关问题和使用MATLAB强大的绘图功能就可以是里面的难点简单化,降低学习者的学习难度，缩短数学理论与应用的距离.同时还能够培养学习者的数学应用以及利用数学知识进行创新的能力.MATLAB在数学分析中的应用很多，下面结合实例从几个方面来阐述MATLAB在数学分析中处理图形的应用.从而最直观的向大家展示在数学分析中使用MATLAB的优点.3.1二维图形(2-DGraph)数学分析中有不少复杂的限制区间的函数问题需要求奇偶性和单调性,面对这类题的函数图像,做题者一般都是凭借想想和随手一画,正因为这样有时候得到错误的答案,这就是凭借不标准的函数图像所导致.对于函数的二维图形的准确输出,利用MATLAB就可以轻而易举的得到最标准的函数图形.从而帮助做题者得到准确的答案.下面通过几个简单的例子来体现MATLAB在实际中的使用效果.3.1.1初等函数常见的初等函数,例如:xy1sin,xeyx2sin221,0122yxxF,笛卡尔叶形线0333xyyxxF见文献]2[MATLAB中可以实现同一窗口的分割输出,下面就用同一个窗口输出这四个函数的图形,用MATLAB输入下列语句即可实现:3subplot(3,3,1),fplot(‘sin(1./x)‘,[0.010.1],le-3)subplot(3,3,2),ezplot(‘2*exp(-0.5*x).*sin(2*pi*x)‘)subplot(3,3,4),ezplot（’x＾2+y＾2-1’）subplot(3,3,4),ezplot（’x＾3+y＾3-3*x*y’,[-3,3]）输出图形如图3.1所示:图3.13.1.2分析函数xxxxxf211当x→0,1时的变化趋势.用MATLAB输入程序：symsxfx=x/(x-1)-1/(x＾2-x);ezplot(fx,[-5,5])gridon4holdon;plot(1,2,‘rd’)xlabel(‘图3.2f(x)的图像’)得到的函数图像如下:图3.2从图3.1.2可知,当x→1时,函数f(x)以2为极限.而当x→0时,由f(x)的图像知x→0+时,f(x)→+∞;x→0−时,f(x)→-∞.故f(x)当x→0时极限不存在.3.1.3研究Dirichlet核的性质]3[Dirichlet核在Fourier级数理论中具有十分重要的意义,而其性质对初学数学分析的学生而言是比较难把握的，但如使用MATLAB动画的计算,可十分容易且直观的得到Dirichlet核的性质.5我们知道2sin221sinxxnxDn因此，可以使用如下程序：x=-pi:0.01:pi:fork=0:12plot(sin(sin(k+0.5)*x)./(2*sin(0.5*x)))holdonend运行，可很易得出关于Dirichlet核xDn的变化规律，如图3.3：图3.3Dirichlet核3.1.4二重积分∬𝒆−(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝑑𝜎𝑫相关问题【例3.1.4】计算∬𝑒−(𝑥2+𝑦2)𝑑𝜎𝐷，其中𝐷𝑥𝑦曲线2𝑥𝑦=1,𝑦=√2𝑥,𝑥=2.5所围成的平面区域.6编程如下：%%绘制积分区域x=0.08:0.001:3;y1=1./(2*x);y2=sqrt(2*x);plot(x,y1,'b-',x,y2,'m-',2.5,x,'r-'),%axis([0.535.3])%%x=1/2,y=1计算两条曲线的交点symsxyy1=('2*x*y=1');y2=('y-sqrt(2*x)=0');[x,y]=solve(y1,y2,x,y)%%计算积分symsxyf=exp(-(x^2+y^2));y1=1/(2*x);y2=sqrt(2*x);jfy=int(f,y,y1,y2);jfx=int(jfy,x,0.5,2.5);jf2=double(jfx);得到的函数图像如下：图3.473.1.5曲面积分∬√1+4𝑥2+4𝑦2𝑑𝑠∑相关问题计算曲面积分∬√1+4𝑥2+4𝑦2𝑑𝑠∑，其中∑是旋转抛物面z=𝑥2+𝑦2被平面z=1所截得的底部，即在0≤𝑧≤1的部分.求曲面∑的方程在x0y平面上的投影区域𝐷𝑥𝑦.曲面∑的方程为𝑧=𝑥2+𝑦2，∑在x0y平面上的投影区域𝐷𝑥𝑦为圆形闭区域：𝑥2+𝑦2≤1，即−√1−𝑥2≤𝑦≤√1−𝑥2，−1≤𝑥≤1.具体编程如下：%%画出积分区域的草图x=-1:0.01:1;y1=-sqrt(1-x.^2);y2=sqrt(1-x.^2);plot(x,y1,'b-',x,y2,'m-'),axis([-1.51.5-1.51.5])title('由圆x^2+y^2=1所围成的积分区域')%%计算曲面积分symsxyfunz=x^2+y^2;fun=sqrt(1+4*x.^2+4*y.^2);x1=-1;x2=1;y1=-sqrt(1-x.^2);y2=sqrt(1-x.^2);I=qmjf1(funz,fun,y1,y2,x1,x2)y=double(I)到的函数图像如下：8图3.53.2三维图形(3-DGraph)会描绘简单的二次曲面的图像是数学分析的基本要求之一,也是学习三重积分和曲面积分的基础.下面用几个例子来阐述MATLAB在解决数学分析邻域中的三维图形的广泛应用.3.2.1螺旋曲线例如:求螺旋线{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝑡𝑧=3𝑡(0≤𝑡≤6𝜋)的弧长.题中给出了螺旋线的参数方程,但在算的过程中仍感到困难,其主要原因之一就是对题目所给的区间不能准确地定下来.如能将相关的图形绘制出来就有利于理解了.为此在MATLAB下输入:ezplot3(‘2*cos(t)‘，‘2*sin(t)‘，‘3*t’，[0，6*pi]，‘animate’)将得到的图形如图3.6所示：9图3.6螺旋曲线3.2.2马鞍面马鞍面是一种曲面，又叫双曲抛物面.文献的课后练习题中出现了曲面方程𝑧=𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2表示马鞍面.设𝑎=3、𝑏=2编程如下：[x,y]=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=x.^2/9-y.^2/4;surf(x,y,z)title('马鞍面')gridoff得到的函数图像如下：图3.7马鞍面3.2.3莫比乌斯带10曲面积分是数学分析的重要内容之一，在曲面积分中,首先要了解单侧曲面与双侧曲面,其中一个著名的单侧曲面就是莫比乌斯带.它的方程式为:𝑟=𝑎+𝑏𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑡2){𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦=𝑟𝑠𝑖𝑛𝑡𝑧=𝑏𝑠𝑠𝑖𝑛(𝑡2)其中a,b为常数，s,t为参数.下面给出莫比乌斯带的MATLAB的程序:functionz=mobius(a,b)s=linspace(