郑州师范学院毕业论文题目迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用姓名陈丹丹学号124103052041院系数学与统计学院专业数学与应用数学年级班级B12数应2班指导教师王明建2016年5月20日毕业论文作者声明本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编;同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文内容不涉及国家机密。论文题目:迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用作者单位:郑州师范学院作者签名:目录摘要.....................................................1引言.....................................................31.预备知识...............................................31.1迭代法的基本形式..............................................................................31.2Jocabi迭代法....................................................................................41.2.1分量形式的Jacobi迭代法................................................................41.2.2矩阵形式的Jacobi迭代法................................................................51.2.3Jacobi迭代法的算法实现步骤..........................................................61.3Gauss-Seidel迭代法............................................................................61.3.1分量形式的Gauss-seidel迭代法........................................................61.3.2矩阵形式的Gauss-seidel迭代法........................................................61.3.3Gauss-Seidel迭代法的算法实现步骤.................................................71.4超松弛迭代法(SOR迭代法)..............................................................71.4.1分量形式的SOR方法......................................................................71.4.2矩阵形式的SOR方法......................................................................81.4.3SOR迭代法的算法实现步骤............................................................91.5迭代法的收敛性..................................................................................92.数值求解线性方程组.......................................................................102.1用Jacobi迭代法求解.........................................................................102.2用Gauss-Seidel迭代法求解................................................................112.3用超松弛迭代法求解..........................................................................12小结...............................................................................................13参考文献...............................................................................................15致谢.......................................................................................................161迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用摘要:迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到的近似解的方法。而线性方程组的求解问题是科学研究及工程计算中最常出现的问题,如结构分析、网络分析、数据分析、大地测量等,都需求解线性方程组。由于从不同的问题而导出的线性方程组的系数矩阵不同,因此对于大型稀疏矩阵(零元素很多的多阶矩阵,一般410n)所对应的线性代数方程组,用迭代法求解,在某些精度要求比较高的问题中,经常用迭代法求解。其基本思想为:从某一初始向量002010,,nxxxX出发,按照某种迭代规则,不停地对上一次的近似值进行修正,得到近似解的向量kX。当近似解002010,,nxxxX收敛于方程组的精确解向量nxxxX,,21时,满足给定精度要求的近似解向量kX就可看作是X的数值解。关键词:线性方程组;迭代法;Jacobi法;Gauss-Seidel法;逐次超松弛法2IterativeMethodandItsApplicationtoNumericalSolutionofLinearEquationsAbstract:Iterativemethodistheapproximatesolutionobtainedbysuccessiveiteration.Theproblemofsolvinglinearequationsisthemostcommonproblemsinscientificresearchandengineeringcalculation,suchasstructuralanalysis,networkanalysis,dataanalysis,geodeticsurvey,etc.,allneedsolutionoflinearequations.Duetothedifferentproblemsofdifferentandthecoefficientmatrixofthelinearequationsderivedfrom,soforlargesparsematrixcorrespondingtothesystemoflinearalgebraicequations,issolvedbyiterativemethod.Incertainaccuracyrequirementisrelativelyhigh,oftensolvedbyiterativemethod.Thebasicideaisasfollows:startingfromacertaininitialvector,accordingtosomekindofiterativerule,thelasttimeapproximationiscorrected,andtheapproximatesolutionisobtained.Whentheapproximatesolutionconvergestotheexactsolutionoftheequation,theapproximatesolutionvectorwhichsatisfiesthegivenaccuracyrequirementcanberegardedasthenumericalsolution.Keywords:linearequations;iterativemethod;Jacobimethod;Gauss-Seidelmethod;successiveoverrelaxationmethod3引言一般情况下,对于中小型方程组,直接法是非常有效并且迅速的,而对于高阶并且系数矩阵稀疏的线性方程组,尤其是大型线性方程组,却遇到了难题。因为直接法的计算量大,存储量大,连非零元素也要存储。因而对于大型的线性方程组,常常用迭代法来求解。迭代法与直接法是有差异的,它不能直接通过有限次的算术运算求出方程的精确解,而是间接的通过迭代来逐步逼近此方程组的精确解。因此,考虑其收敛性是使用迭代法的关键问题。迭代法较直接法有明显的优势:程序设计简洁,存储量和计算量少等。尤为重要的是,迭代法是解决具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。1.预备知识为了更深入的学习迭代法在数值求解线性方程组中的应用,我们有必要回顾一下迭代法的基本知识。1.1迭代法的基本形式设有线性方程组bAx,(1.1.1)其中A为非奇异矩阵,向量0b,因此有唯一的解x。下面介绍迭代法的基本格式。将方程组(1.1.1)变形可得到等价的线性方程组fBxx,(1.1.2)任取初值向量Rx0为(1.1.1)的近似解,由公式,,2,1,0,1kfBxxkk(1.1.3)可构造出向量序列kx,若kx满足下面的式子xxkklim,(1.1.4)则迭代法收敛,x就是方程组(1.1.1)的解,反之,迭代法就发散。而式子(1.1.3)为迭代格式,B为迭代矩阵,kx为第k次迭代的近似的解,而4kkxxe为第k次的近似误差。1.2Jocabi迭代法1.2.1分量形式的Jacobi迭代法对线性方程组bAx,有分量形式:,nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1.2.1)(1)设njjj,,2,10a,用其它的1n个变元来表示线性方程组的第j个方程中的第j个变元jx,就可得到:,11,22112323121222213132121111111nnnnnnnnnnnnnxaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabax(1.2.2)也既是:jjnijiijijjaxabx1,nj,,2,1(1.2.3)(2)用迭代格式写出来就是:,knnnknknnnnknknnkkkknnkkkxaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabax11,22111232312