江苏省通州高级中学2014届高三上学期期中考试数学试卷

开始结束是输出否（第4题图）x←1,y←1z←x+yx←yy←z江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷一．填空题（本大题满分70分）1．在复平面内，复数＝表示的点所在的象限是_▲__2．已知集合A＝{x｜x＞2，或x＜－1}，B＝{x｜}，若A∪B＝R，A∩B＝{x｜2x≤4}，则＝_▲__3．一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在「40，50)，［50，60)内的数据个数之和是_▲__4．右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为▲_．5．m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列正确命题的序号是▲_．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．6．已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的斜率为√，且右焦点与抛物线√的焦点重合，则该双曲线的方程为▲_．7．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是_▲_8．已知，且()，则()＝_▲_9．已知函数f(x)＝lnx，若任意x1，x2∈[2，3]，且x2＞x1，()()，则t的取值范围▲_10．在△ABC中，已知⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，sinB＝cosA⋅sinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⃗⃗⃗⃗⃗|⃗⃗⃗⃗⃗|⃗⃗⃗⃗⃗|，则xy的最大值为__________11．在△ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，△ADC．△BDC．△ABC的内切圆半径分别为，则有如下的等式恒成立：．在三棱锥P-ABC中D位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC．P-BDC．P-ABC的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_▲__.12．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为▲_．13．已知x，y都在区间(0，1]内，且xy＝13，若关于x，y的方程44－x＋33－y－t＝0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是_▲__.14．各项均为正数的等比数列中，，若从中抽掉一axb12,,rrrhCDrABrBDrAD22112,,rrrABCDPABCDPA2PA{}na811a12...8(2,)mmaaammN项后，余下的m-1项之积为，则被抽掉的是第▲_项.二．解答题（本大题满分90分）15．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4，(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的最值．16．在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.（1）求证：//平面；（2）求的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.17．提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．（Ⅰ）当0x≤200时，求函数v(x)的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）1(42)mACAB1111ABCDABCD,EF1,ADDD2ABBC11ACB、、111ABCDACD403EF11ABC1AA1BCP1AP1CD1APxkxv25040)(236.25A1DD1C1ACBEF18．函数在处的切线方程与直线平行；（1）若＝，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；（3）若，方程有三个解，求实数的取值范围．19．如图，已知椭圆过点(1，)，离心率为，左．右焦点分别为F1．F2.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A．B和C．D，O为坐标原点．()(,0)1bfxaxaaaxR3x(21)230axy()gx(1)fx()gx0xyax,mk()()fxfmxkx(3)3f2()(23)fxtxxxt)0(1:22221babyaxC2222(1)求椭圆的标准方程．(2)设直线PF1．PF2的斜率分别为k1．k2.(ⅰ)证明：＝2.(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OA．OB．OC．OD的斜率kOA．kOB．kOC．kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．20．设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为中的三项，，．高三数学模拟练习加试21．选做题．选修：几何证明选讲如图，自⊙外一点作⊙的切线和割线，点为切点，割线交⊙于，两点，点在上．作，垂足为点求证：．2131kk}{nannS2)1(4nnaS*Nn}{na}{nbtaabnnn*Nt1b2bmb*,3Nmmtm}{na1na2na3naA14OPOPCPBACPBAOABOABABCD.DDCBDPAPC．选修：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是。（Ⅰ）求点在作用下的点的坐标；（Ⅱ）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程。．选修：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标．．选修不等式选讲已知非负实数，，满足，求的最大值．22．已知为等差数列，且，公差.（1）数列满足结论；；试证：；（2）根据（1）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.（7分）B241T21M2T21101M(2,1)P1T'P2yx1T2TC44cossin2:sin()42ll0,lD54xyz41332222zyxzyxzyxna0na0d212111aadaa01222221231232CCCdaaaaaa012333333123412346CCCCdaaaaaaaa23．设点在圆上，是过点的圆的切线，切线与函数的图象交于两点，点是坐标原点，且是以为底的等腰三角形；（1）试求出点纵坐标满足的等量关系；（2）若将（1）中的等量关系右边化为零，左边关于的代数式可表为的形式，且满足条件的等腰三角形有3个，求的取值范围．参考答案一．填空题（本大题满分70分）1．在复平面内，复数表示的点所在的象限是_▲__.第二象限2．已知集合A＝{x｜x＞2，或x＜－1}，B＝{x｜}，若，(,)Pmn222xylPl2()yxxkkR,ABOOABABPnn22(1)()naxbxck2013ii1izaxbABR开始结束是输出否（第4题图）x←1,y←1z←x+yx←yy←z＝{x｜}，则＝_▲__.43．一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在「40，50)，［50，60)内的数据个数之和是_▲__.214．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为▲_．5．，是不同的直线，，是不同的平面，则下列正确命题的序号是▲_．①①.若，，则；②.若，，则；③.若，，则；④.若，，则．6．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为▲_．7．甲．乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2．红桃3．红桃4．方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是▲_.238．已知，且，则的值为__▲____．9．已知函数（），若任意且，t＝,则实数t的取值范围_▲__.10．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最大值为▲_．311．在△ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，△ADC．△BDC．△ABC的内切圆半径AB24xba138mnnm//mnnm////m//n//m//m//nn22221(0,0)xyabab2243yx1222yxcos21sin)2,0()4sin(2cos214xxfln)(Ra]3,2[21xx、12xx1212)()(xxxfxf)21,31(ABC9ACABCABsincossin6ABCSPAB||||CBCByCACAxCPxy分别为，则有如下的等式恒成立：．在三棱锥P-ABC中D位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC．P-BDC．P-ABC的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_▲__.12．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为▲_．13．已知x，y都在区间(0，1]内，且xy＝13，若关于x，y的方程44－x＋33－y－t＝0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是_▲__.(125，5924]14．各项均为正数的等比数列中，，若从中抽掉一项后，余下的m-1项之积为，则被抽掉的是第▲_项.13二．解答题（本大题满分90分）15．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4，(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的最值．【解析】(1)∵＝8，∠BAC＝θ，∴bccosθ＝8.又a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42即b2＋c2＝32.又b2＋c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16.而bc＝8cosθ，∴8cosθ≤16，∴cosθ≥12，∵0θπ，∴0θ≤π3.(2)f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3＝3[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1∵0θ≤π3，∴π62θ＋π6≤5π6∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f(θ)min＝2×12＋1＝2.当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f(θ)max＝2×1＋1＝3.12,,rrr122ACBDABCDrrrh12,,rrr122ADCBCDABCPDCSSSSrrrhABCDPABCDPA2PA34{}na811a12...8(2,)mmaaammN1(42)mACABACAB16．在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.（1）求证：//平面；（2）求的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.【解析】：（1）在长方体中，可知，则四边形是平行四边形，所以。因为分别是的中点，所以，则，又面，面，则//平面。（2）.（3）在平面中作交于，过作交于点，则.因为，而，又，且.∽.为直角梯形，且高.17．提高大桥的车辆通行能力可改善