搜索
营养与健康的平衡研究（数学建模结课大作业）13010310040刘荣凯作者：雷云森刘荣凯摘要本文参考了中国居民平衡膳食宝塔、人体各营养成分每日标准摄入量、各种食物所含营养成分及含量等数据，结合中国居民三餐的习惯，建立了数学规划模型。其中，问题1要求对两个目标函数求最优解；问题2要求优化问题1模型，得到多组可行解；问题3（包括附加）要求考虑多种营养元素的搭配，得到最优解。根据这些特点，我们对问题1用了双层线性规划的方法解决；对问题2用了整数规划的方法解决；对问题3用了线性规划并合理调配的方法解决。对于问题1，我们用数学规划中的线性规划首先建立了质量最小模型。具体为：先将100种食物按中国居民平衡膳食宝塔数据分为八类，先对每一类中食物以热量为目标函数进行线性规划，得到每类中热量最小的食物。再将所有类别以总质量为目标函数再次线性规划。其中线性规划部分，我们借助linprog算法和MATLAB软件编程求解。综合两次规划结果，并结合中国居民三餐的习惯，得到满足一天摄入食物质量、热量均最小的三餐方案。对于问题2，我们根据问题1中各类食物的质量，对各类食物质量进行离散化，继而建立整数规划模型，通过优化后的随机取样算法得到以总热量为目标函数的多组可行方案。其中我们针对规划数据量大的特点，对随机取样算法进行了优化，使取样事件数控制在可行范围内。最后结合Q值法得到三餐搭配的多组方案。对于问题3，我们结合各种食物所含营养成分及含量，综合前两个模型得到新的线性规划模型。得到最优解后，结合关于食品健康的论文，对所得解进行微调。最后通过与第一问相同的方法得到最终的三餐搭配方案。如果还需考虑更多的食物选择或更多的营养元素，可根据需求选择上述模型，并改变规划的约束条件，对模型进行推广。关键词：平衡膳食线性规划整数规划随机取样三餐搭配一、问题重述进入21世纪以来，中国人的都市生活发生很大的变化，生活节奏快，工作压力大，许多人都处于亚健康状况，各种都市病也接踵而来，如糖尿病，心血管疾病，颈椎病等。另一方面，随着生活水平的提高，一些人饮食没有节制，大吃大喝，营养过剩，肥胖人群所占比例越来越大。随着疾病人群的不断上升，越来越多的人特别是年轻人开始意识到营养和健康的重要性。但如何选择饮食才能做到营养均衡、保持健康呢？中国营养协会根据HYPERLINK中国居民膳食指南推出了HYPERLINK中国居民平衡膳食宝塔，结合中国居民的膳食把平衡膳食的原则转化成各类食物的重量，便于大家在日常生活中实行。平衡膳食HYPERLINK宝塔共分五层,谷类食物位居底层，每人每天应该吃250g-400g；HYPERLINK蔬菜和HYPERLINK水果居第二层，每天应吃300-500g蔬菜和200g-400g水果；HYPERLINK鱼、HYPERLINK禽、HYPERLINK肉、HYPERLINK蛋等动物性食物位于第三层，每天应该吃125g-225g（HYPERLINK畜、禽肉50g-75g，HYPERLINK鱼虾类50g-100g，蛋类25g-50g)；奶类和豆类食物合居第四层，每天应吃奶类及奶制品300g和HYPERLINK大豆及制品30g-50g。第五层塔顶是HYPERLINK烹调油和HYPERLINK食盐，每天烹调油摄入量为25g-30g，食盐不超过6g。为了保持身体健康，必须保证每日三餐、按时进食；在每日摄入的总能量中，早、中、晚餐的能量应当分别占30%、40%和30%左右。谷类在每日食物摄入量中占33%左右，蔬菜水果类在每日食物摄入量中占31%左右，蛋肉鱼类在每日食物摄入量中占20%左右，奶豆类在每日食物摄入量中占12%左右，油脂类在每日食物摄入量中占4%左右。人体各营养成分每日标准摄入量请见附件1。各种食物所含营养成分及含量请见附件2。数据预处理方法请见附件3。问题1：根据附件2中提供的数据，建立数学模型一，根据平衡膳食HYPERLINK宝塔五层中食物的所需量，结合每日三餐的能量比例，为某人选择一天的三餐饮食，使得摄入的各种食物总重量和总热量尽可能小。问题2：在问题1的基础上，考虑不同食物的搭配，为某人一天的三餐饮食提供多种方案，用图表表示。问题3：参考附件1内数据以及平衡膳食要求，建立数学模型二，在满足镁、钙、铁、锌、铜、锰、钾、磷、钠、硒的每日摄入量的基础上，如何选择一日的三餐？二、问题分析具体来说，本问题是在给定的各个营养标准的基础上，从不同层面，对中国居民的一日三餐进行规划。总体上来看，这三个问题都属于数学规划问题。其目标函数为一日摄入食物的总质量和总热量，而约束条件是摄入质量、热量及各营养元素与推荐值的关系。三个问题的区别仅在于限定条件的个数及需要的解的数目，是针对同一问题，在不同层面上的解答。问题1的分析问题一属于数学规划问题中的线性规划问题，目标量为一日摄入食物的质量和热量，所求解为最优解。由于有两个目标函数，可先通过各组类的规划控制热量达到最低，再以质量为唯一条件对各类食物进行规划。将两次规划的结果结合便可得到最优解。问题2的分析问题二属于数学规划中求可行解的问题。然而对于连续量，满足限定条件的解是无穷多的，因此可根据问题一所得各类食物的质量，对各食物质量进行离散化，再通过整数规划得到可行解。问题3的分析问题三属于数学规划问题中的线性规划问题。较第一问，第三问中限定条件更多，难以分类，因此须对各食物摄入量进行规划。事实上，规划结果很难满足各个条件，还需依据中国居民三餐习惯对结果进行微调。此外，每个问题的规划结果完成后，还需依据三餐所需热量比例，将规划所得食物进行分配。这里可用Q值法分配食物，同时依据中国居民三餐习惯对分配顺序进行调整。综上所述，本问题是依据大量数据，对生活中的食品进行的数学规划问题。我们将依数据为基础，并结合生活实际，给出一些合理的解答方案。三、符号说明EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT：第i大类食物的总质量EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT：第i大类第j小类食物的总质量EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT：第x种食物的符号，特别的，在问题二的求解中作为第x种食物的质量EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT：第x种食物所含对应营养物质的含量，nutrition代表该营养素的符号（例如EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT表示第x种食物所含的热量）四、模型的建立、求解与分析（一）模型一：质量最小模型数据预处理为了保证人体对膳食宝塔中所要求的食物都有所摄入，根据附件2提供的表格对所给的食物进行继续分类，其中蔬菜水果类分为蔬菜类、水果类，蛋鱼肉类分为畜禽肉类、鱼虾类、蛋类，奶豆类分为奶类及豆制品、大豆类及坚果。根据描述统计学容易知道，虽然每种食物在总能量中所占的权重并不相同，但是我们只需选择食用每一类食物中热量最低的一种，就能保证所摄入的总热量最低。因此为保证摄入总热量最低，我们分别选择如下食物：种类最低热量食物谷类薯类及杂豆马铃薯蔬菜类水芹菜水果类西瓜畜禽肉类牛肉（后腿）或牛肉（瘦）鱼虾类牡蛎蛋类鸡蛋奶类及豆制品豆浆大豆类及坚果黄豆表1保证摄入热量最低时食用的食物在保证了摄入热量最小后，接下来的内容仅对摄入的质量进行讨论。质量最小模型首先为八种食物进行代码编号：种类标号谷类薯类及杂豆EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT蔬菜类EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT水果类EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT畜禽肉类EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT鱼虾类EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT蛋类EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT奶类及豆制品EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT大豆类及坚果EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT表2八种食物标号表其中，EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT表示第i大类食物的第j小类，同时规定EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT为第i类食物的统称。定义M为一天摄入的总质量，容易知道每天四大类食物摄入的能量之和即为一天摄入的总能量，因此有EMBEDEquation.DSMT4\*MERGEFORMAT由题干中给出的中国居民平衡膳食宝塔，我们发现每类食物的摄入量都有一定的约束范围，为了得到每种食物的最优摄入量，根据运筹学中的线性规划分支，我们选择设计线性规划模型。根据题干中的约束条件，得到的线性规划模型如下：EMBEDEquation.DSMT43.模型求解对以上线性规划模型通过MATLAB编辑求解，得到如下结果：种类质量/g谷类薯类及杂豆250.00蔬菜类300.00水果类200.00畜禽肉类50.00鱼虾类50.00蛋类25.00奶类及豆制品300.00大豆类及坚果30.00表3八种食物每日摄入质量4.模型结论综合预处理时得到的每种食物的最低热量食物，以及解线性模型得到的最低质量，可得满足问题1要求的每日摄入食物及质量。根据早、中、晚餐能量比3:4:3的比例，以及质量能量最低的要求，根据论文《一日三餐怎么吃最合理》①及中国人的饮食习惯，可得三餐规划方案：三餐食物及质量早餐马铃薯：100g鸡蛋：25g豆浆：300g中餐马铃薯：100g牛肉（瘦）：50g黄豆：30g晚餐马铃薯：50g水芹菜：300g西瓜：200g牡蛎：50g表3三餐规划方案分配过程中，我们使用了席位分配法中的Q值法，并保证了对早、中、晚餐的相对不公平度都尽可能小，但是由于Q值法只适用于离散点的席位分配，而三餐摄入质量是一个连续的量，因此在分配过程中很难做到完美分配，我们曾尝试将连续的质量划分为离散量，但效果并不理想。因此三餐的分配并不完善。结论分析首先，我们对三餐规划方案模型进行评估。评估标准参照题干中中国居民平衡膳食宝塔、每日摄入总能量中早、中、晚餐能量比、每日摄入总能量中各类食物摄入量比例以及中国营养协会建议的合理膳食方案，现就摄入质量以及摄入能量方面进行评估。质量评估我们根据八种食物求解结果，与题干中给出的五类食物每日摄入量应占比例进行比较，得到如下表格：种类每日摄入质量所占比例五类食物每日摄入量应占比例谷类薯类及杂豆19.75%33%蔬菜水果类40.48%31%蛋鱼肉类7.30%20%奶豆类23.89%12%油脂类4.00%4%表4四类食物摄入