数理经济学第5章课后题答案

第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。（1）164..),(max212121xxtsxxxxf，（2）32..),(minmax222122121xxtsxxxxfor（3）11..),(minmax22yxyxtsxyyxfor和解：（1）首先写出拉格朗日函数：121212(,,)(164)Lxxxxxx将L对1x，2x和分别求偏导数可得：1221120401640xxLxLxLxx解得128,2xx，2，此时16f。则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。（2）首先写出拉格朗日函数：222121212(,,)(32)Lxxxxxx将L对1x，2x和分别求偏导数可得：12121212221224020320xxLxxxLxxLxx解得121,1xx，12，此时1f；或者121,1xx，12，此时1f；或者121,1xx，12，此时1f；或者121,1xx，12，此时1f。则点(1,1)、(1,1)、(1,1)和(1,1)为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。（3）首先写出拉格朗日函数：221212(,,,)(1)(1)Lxyxyxyxy将L对x，y，1和2分别求偏导数可得：1212122220201010xyLyxLxyLxyLxy解得111,0,2xy2,1，此时0f；或者110,1,2xy，21，此时0f。则点(1,0)和点(0,1)为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。2．利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点。解：（1）对120xLx，2140xLx求偏导数可得11220xxxxLL，12211xxxxLL，加边元素11xg，24xg。所以，海赛加边行列式为：01110480140H所以，由定理5.2得，在128,2xx处函数取得极大值16f。（2）对1121240xLxxx，221220xLxx求偏导数可得11224xxLx，22122112,2xxxxxxLLLx，加边元素114xgx，222xgx。所以，海赛加边行列式为：21112122424222420xxxHxxxx当121,1xx，12时，024212480420H所以，由定理5.2得，在121,1xx处函数取得极大值1f。当121,1xx，12时，024212480420H所以，由定理5.2得，在121,1xx处函数取得极小值1f。当121,1xx，12时，024212480420H所以，由定理5.2得，在121,1xx处函数取得极大值1f。当121,1xx，12时，024212480420H所以，由定理5.2得，在121,1xx处函数取得极小值1f。（3）对1220xLyx，1220yLxy求偏导数可得2xxyyLL，1yxxyLL，加边元素12xgx，12ygy，221xygg，1yg。所以，海赛加边行列式为：2121122122001100xyHxy当111,0,2xy2,1时，112111014020001100H当110,1,2xy，21时，110111214002001100H所以，由定理5.2得，在1,0xy或者0,1xy处函数取得极大值0f。3．求函数2),,(zyxzyxf在约束0222zyx和0y下的可能的极值点。解：首先写出拉格朗日函数：22221212(,,,,)()Lxyzxyzxyzy将L对x，y，z和12,分别求偏导数可得：12112122212012022000xyzLxLyLzzLxyzLy解得该方程无实解，存在虚数解：11,0,22xyzi，121,1，此时14f。4．利用海赛加边行列式确定下面每一小题的z值是极大值还是极小值。（1）xyz满足约束22yx；（2）)4(yxz满足约束8yx；（3）xyyxz3满足约束6yx；（4）72yxz满足约束0yx。解：（1）首先写出拉格朗日函数：(,,)(22)Lxyxyxy将L对x，y和分别求偏导数可得：020220xyLyLxLxy解得11,2xy，对0xLy，20yLx求偏导数可得0xxyyLL，1xyyxLL，加边元素1xg，2yg。所以，海赛加边行列式为：01110240120H所以，由定理5.2得，11(1,)22z为目标函数的极大值。（2）首先写出拉格朗日函数：(,,)(4)(8)Lxyxyxy将L对x，y和分别求偏导数可得：40080xyLyLxLxy解得6,2,6xy，对40xLy，0yLx求偏导数可得0xxyyLL，1xyyxLL，加边元素1xygg。所以，海赛加边行列式为：01110120110H所以，由定理5.2得，(6,2)36z为目标函数的极大值。（3）首先写出拉格朗日函数：(,,)3(6)Lxyxyxyxy将L对x，y和分别求偏导数可得：103060xyLyLxLxy解得1,5,4xy，对10xLy，30yLx求偏导数可得0xxyyLL，1xyyxLL，加边元素1xygg。所以，海赛加边行列式为：01110120110H所以，由定理5.2得，(1,5)19z为目标函数的极小值。（4）首先写出拉格朗日函数：2(,,)7()Lxyxyxy将L对x，y和分别求偏导数可得：20100xyLxLLxy解得11,,122xy，对20xLx，10yL求偏导数可得2,0xxyyLL，0xyyxLL，加边元素1xygg。所以，海赛加边行列式为：20100120110H所以，由定理5.2得，11(,)722z为目标函数的极小值。5．求原点)0,0(到椭圆322yxyx的最大和最小距离（提示：目标函数取为22yx可简化运算。解：由题意知，解决如下最优化问题，2222max(min)..3orzxystxxyy首先写出拉格朗日函数：2222(,,)(3)Lxyxyxxyy将L对x，y和分别求偏导数可得：2222022030xyLxxyLyyxLxxyy解得1xy或者3,3xy，则(1,1)2z为最小距离，(3,3)6z为最大距离。6．绘出有如下特征的曲线)(xfz（1）拟凹的，（2）拟凸的，（3）既拟凹又拟凸的解：xzx0MNuvz0MNuv（1）拟凹（2）拟凸(3)既拟凹又拟凸7．运用海赛加边行列式检验下列函数的拟凹性和拟凸性：（1）)0,(22yxyxz（2）)0,()2()1(22yxyxz解：（1）2,2xyzxzy，2xxyyzz，2xyyxzz222022(1)()=2228()0222xyCxxxyyxz0所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。（2）22,24xyzxzy，2xxyyzz，0xyyxzz22202224(1)()=22202(24)2(22)02402xyCxxyxy所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。8．判断下列命题的正误，并给予说明。（1）设)(xf是单变量递增函数，则)(xf为拟凹函数。（2）设)(xf是单变量递减函数，则)(xf为拟凹函数。（3）设)(xf是单变量函数，存在一个实数b使得)(xf在),(b区间上递减，在),[b区间上递增时，)(xf为拟凹函数。解：（1）命题正确，对于一元递增函数f定义域（凸集）中任意点uv，有)()(ufvf，则：对任意]1,0[，有)())1((ufvuf；则f为拟凹的。（2）命题错误，对于一元递减函数f定义域（凸集）中任意点uv，有()()fufv，则：对任意]1,0[，有((1))()fvufv；则f为拟凸的。（3）命题错误，用反证法证明，假设命题成立，则在区间),(b上与该题（2）相同，则该函数为拟凸函数，与命题结论矛盾，故命题错误。9．已知极大化问题3..),,(max222zyxtszyxzyxf的均衡解为)21,1,1,1(),,,(uzyx。试估计以下目标函数的最优值，并说明理由。（1）05.3..),,(max222zyxtszyxzyxf，（2）05.3..02.1),,(max222zyxtszyxzyxf（3）05.301.1..02.1),,(max222zyxtszyxzyxf解：根据（1）、（2）、（3）小问中目标函数与约束条件变动项构造拉格朗日函数：222123(,,,;)()Lxyzxayzaxayza，将123(,,)(1,3,1)aaa代入极大化问题，在约束条件下目标函数的极大值点为(1,1,1)，乘子为12。从而有**1=(1,1,1)=2w，。根据包络定理，**(1,3,1)11(1,3,1)(,)afLaaw，则11Lya，212La，2312Lya（1）当等式约束改为2223.05xyz时，目标函数最优值改变分量为：*221(1,3,1)0.050.0252faa极大化问题的目标函数最优值分别是025.3025.0)111(。（2）当目标函数改为(,,)1.02fxyzxyz，等式约束改为2223.05xyz时，目标函数最优值改变分量为：12121(1,3,1)(1,3,1)10.020.050.0452ffaaaa极大化问题的目标函数最优值是(111)0.0453.045。（3）当目标函数改为(,,)1.02fxyzxyz，等式约束改为2221.013.05xyz时，目标函数最优值改变分量为：12312311(1,3,1)(1,3,1)(1,3,1)10.020.05()0.010.0422fffaaaaaa极大化问题的目标函数最优值是(111)0.043.04。10．一个消费者具有效用函数：)1(),(yxyxU，其中x和y是两种商品的数量，它们的价格