数理统计作业三

第一部分统计基础与概率计算（共10题，10分/题）1.某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。解：读题可知每个路口遇到红灯的概率是P=24／（24+36）=0.4假设遇到红灯的次数为X，则，X～B（3,0.4），概率分布如下0次遇到红灯的概率P0=（1-0.4）3=0.2161次遇到红灯的概念P1=（1-0.4）2*0.4=0.4322次遇到红灯的概念P2=（1-0.4）*0.42=0.2883次遇到红灯的概念P3=0.43=0.064期望：E（x）=nP=0.4*3=1.2方差：D(X)=δ2=nPq=0.4*3*(1-0.4)=0.72标准差：2.一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。解：设被保险人死亡数为X，X～B(20000，0.0005)2.总收入为2万×50=100万，要获利至少50万，则赔付的保险金额应该不超过50万，也就是被保险的人当中死亡人数不能超过10人，精确点就是用二项分布来做，但是由于20000这个数比较大，就可以用正态近似来做，就是认为死亡人数服从和原二项分布的均值方差相同的正态分布，结用正态函数表示。概率为P（X≤10）=0.58304（2）亏本的概率就是死亡人数大于20人的概率，思路如上P（X＞20）=1-P(X≤20)=0.00158(3)支付保险金额的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×0.0005（元）＝50（万元）支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)]1/2=50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元）3.对题2的资料，试问：（1）可否利用泊松分布来近似计算？（2）可否利用正态分布来近似计算？（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算？解：(1)由于泊松分布的特点为，当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算λ=np=20000×0.0005=10P(X≤10)=P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=∑！=.58304比较两题的结果，可以知道泊松分布适用于此题。(2)可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。本例中，np=20000×0.0005=10，np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995，即有X～N(10,9.995)。相应的概率为：P(X≤10.5)＝0.51995，P(X≤20.5)＝0.853262。可见误差比较大。(3)由于p＝0.0005，假如n=5000，则np＝2.55，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式计算。4.某企业收购进甲、乙、丙三厂生产的同样规格的产品，在总收购量中甲、乙、丙三厂的产品各占40％、35％和25％。甲、乙、丙三厂生产的次品率分别为1％、2％和3％。若从总购量中任取1件检查，问：(1)该件产品是次品的概率是多少？(2)如果抽到的产品是次品，那么所抽到的产品恰好是甲厂生产的概率是多少？恰好是乙厂和丙厂生产的概率各是多少？解：（1）抽检到次品的概率为P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=1.85%（2）恰好是甲厂的概率为：P甲=40%×1%/1.85%=21.62%恰好是乙厂的概率为：P乙=35%×2%/1.85%=37.84%恰好是丙厂的概率为：P丙=25%×3%/1.85%=40.54%5.据某地过去气象记录，在11月的30天中平均有2天是雨天，假定11月每天是否下雨如同重复试验一样服从二项分布。(1)这种假定是否合理？(2)接二项分布计算，次年11月最多有2天是雨天的概率是多少？解：(1)按照题意，在每次试验只有两种结果下雨或者不下雨，而且两种结果发生与否互相对立互不影响，且实验结果试验次数无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，因此这种假定合理。(2)下雨概率P=2/30=0.067，设下雨天数＝X，X～B(30，0.067)则最多有两天的概率为P(X≤2)＝0.6746.应用普哇松分布计算500人中至多有1人在元旦出生的概率(假定1年是365天)。解：至多有一人在元旦出生，换句话说就是500人当中没有人，或者只有一个人在元旦出生的概率。P（X≤1）=P(X=0)+P(X=1)=（）=0.6027.已知生产产品时废品的概率为0.01，现每盒装100个产品。问：(1)在1盒中没有废品的概率是多少？(2)在1盒中有1个废品的概率是多少？(3)若要求以99％的概率保证每盒有100个合格品，每盒至少要装多少产品？解：（1）设盒中废品数量＝X，因此，X～B(100，0.01)P（X=0）==0.366032(2)P（X=1）=0.36973(3)设每盒产品为n个，合格品数量服从二项分布：X～B(n，0.99)P(X≥100)≥0.99或P(X＜100)≤0.01根据中心极限定理，二项分布的正态近似8.某厂生产一批小型装置，设已知该小型装置的平均寿命为10年，标准差为2年。如果该小型装置的寿命服从正态分布，问：(1)整批小型装置不小于9年的比重是多少？(2)整批小型装置不小于11年的比重是多少？(3)如果工厂规定在保用年限期间遇有故障可免费换新，今要求免费换新率限制在3％以内，保用年限有多长？解：（1）设比重为Y年F(Y≥9)=1-F（Y≤9）=1-Ф（）=1-Ф（）查正太表知道Ф（）=0.309所以F(Y≥9)=0.691(2)F(Y≥11)=1-F(Y≤11）=Ф（）=Ф（）(3)P(X=n)=Φ((n-10)/2)=0.03可得n=6.24，则保用年限至多为6年。Excel：SPSS：9.某种电开关寿命(年)具有失效率K＝1/2的负指数分布。若有100个此种开关装在不同系统中，那么在第一年最多有30个失效的概率是多少？解：1个开关在第一年的失效率是X～Exp(0.5)。P(X1)≈0.39。100个开关有第一年有30个失效的概率服从Y～B(100,0.39)。则P(Y=30)≈0.033。Excel：SPSS：1个1年失效概率100个中30个内失效概率10.某投资者考虑将1000美元投资于n=5种不同的股票。每一种股票月收益率的均值为μ=10%，标准差σ=4%。对于这五种股票的投资组合，投资者每月的收益率是irr51。投资者的每月收益率的方差是2.3/22nr，它是投资者所面临风险的一个度量。⑴假如投资者将1000美元仅投资于这5种股票的其中3种，则这个投资者所面对的风险将会增加还是减少？请解释；⑵假设将1000美元投资在另外10种收益率与上述的完全一样的股票，试度量其风险，并与只投资5种股票的情形进行比较。解：（1）5种股票不同，相互独立。投资于3种股票时，σr=σ2/3=5.33.2,因此风险将会增加。（2）投资于10种股票时，σr=σ2/10=1.63.2,因此风险减少。EXCEL：SPSS：（1）（2）