数理统计方法6-1

１３７第6章方差分析和正交试验设计§6.1单因子方差分析在实际问题中，某个指标的取值，往往可能与多个因素有关。例如，农作物的产量，可能与作物的品种有关，可能与施肥量有关，可能与土壤有关，等等。又例如，化工产品的收得率，可能与原料配方有关，可能与催化剂的用量有关，可能与反应温度有关，还可能与反应容器中的压力有关，等等。由于因素很多，自然就会产生这样的问题：这些因素，对于指标的取值，是否都有显著的作用？如果不是所有的因素都有显著的作用，那么，哪些因素的作用显著？哪些因素的作用不显著？还有，这些因素的作用，是简单地叠加在一起的呢，还是以更复杂的形式交错在一起的？以上这些问题，都需要我们从试验数据出发，来加以判断、分析，做出结论。方差分析（AnalysisofVariance，简称ANOVA）就是一种能够解决这类问题的有效的统计方法。在方差分析中，将可能与某个指标的取值有关的因素，称为因子（Factor），通常用,,BA来表示。因子所取的各种不同的状态，称为水平（Level），用,,21AA，,,21BB来表示。如果问题中只考虑一个因子，这样的方差分析称为单因子方差分析。如果问题中要考虑两个因子，这样的方差分析就称为双因子方差分析。当然，还可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。我们先来看单因子方差分析。问题设某个指标的取值可能与一个因子A有关，因子A有r个水平：rAAA,,,21。在这r个水平下的指标值，可以看作是r个相互独立、方差相等的正态总体i～),(2iN，ri,,2,1。在每一个水平iA下，对指标作t（1t）次重复观测，设观测结果为tiiiXXX,,,21，它们可以看作是总体i的样本。即有水平观测值rAAA21trrrttXXXXXXXXX,,,,,,,,,212222111211问：因子A对指标的作用是否显著？１３８检验方法检验因子A的作用是否显著，相当于要检验这样一个假设0H：r21。为了作检验，先给出一批定义。称rtn为总观测次数，tjjiiXtX11为水平iA的均值，tjijiiXXSS12)(为水平iA的平方和，riiritjjiXrXnX11111为总均值，ritjjiTXXSS112)(为总平方和，riiritjijieSSXXSS1112)(为误差平方和，riiAXXtSS12)(为因子A的平方和。这些统计量之间的相互关系，可以用下列图表的形式表示出来：水平观测值iA的平方和iA的均值总均值rAA1trrtXXXX1111←─1SS─→←─rSS─→rXX1←────→X│←──误差平方和eSS──→│←─A的平方和ASS──→││←─────────总平方和TSS─────────→│tjijiiXXSS12)(反映了在各水平iA的内部指标取值的差异程度，这种差异完全是由于误差引起的，而eSS是所有这样的iSS的总和，所以称为误差平方和。riiAXXtSS12)(反映了各水平之间指标取值的差异程度，如果因子A的作用不显著，各水平之间差异很小，rXXX,,,21近似相等，与X差异很小，ASS的值也比１３９较小，如果因子A的作用显著，各水平之间差异很大，rXXX,,,21与X的差异也很大，ASS的值就会偏大。ASS的大小反映了因子A的作用大小，所以称为因子A的平方和。总平方和TSS、误差平方和eSS、因子A的平方和ASS之间，有下列平方和分解关系：AeTSSSSSS。这是因为ritjjiTXXSS112)(ritjiijiXXXX112)(ritjiritjiijiritjijiXXXXXXXX11211112)())((2)(riiriiitjjieXXtXXXtXSS1211)())((2AeAeSSSSSSSS0。由ASS、eSS可以算出统计量)1(rSSMSAA和)(rnSSMSee。AMS称为因子A的均方，eMS称为误差均方。由AMS、eMS可以算出统计量)()1(rnSSrSSMSMSFeAeAA。下面证明一个关于AF的分布的定理。定理6.1若0H：r21为真，则有)()1(rnSSrSSMSMSFeAeAA～),1(rnrF。证设r21，这时有i～),(2N，ri,,2,1。因为tiiiXXX,,,21是i的样本，所以jiX～),(2N，jiX～)1,0(N，ri,,2,1，tj,,2,1，相互独立。１４０QritjjiX1122112)(ritjjiXXX2112)(ritjjiXX211))((2ritjjiXXX2112)(ritjX222)(0XnSST222nXSSSSeA321QQQ。其中，1Q2122)(riiAXXtSS是r项的平方和，但这r项又满足1个线性关系式：0)(11XrXXXriirii，所以，1Q的自由度11rf。2Q21122)(ritjijieXXSS是rtn项的平方和，但这n项又满足r个线性关系式：0)(11itjjitjijiXtXXX，ri,,2,1，所以，2Q的自由度rnf2。3Q2nX是1项的平方和，所以，3Q的自由度13f。因为nrnrfff1)()1(321，所以由定理2.7（Cochran定理）可知：21ASSQ～)1(2r，22eSSQ～)(2rn，3Q2nX～)1(2，而且21ASSQ，22eSSQ，3Q2nX相互独立。因此，由F分布的定义可知１４１)()1()()1(22rnSSrSSrnSSrSSFeAeAA～),1(rnrF。由定理6.1可知，若0H：r21为真，则AF～),1(rnrF；若0H：r21不真，则ASS的值会偏大，AF的值也会偏大，统计量AF的分布，相对于),1(rnrF分布来说，峰值的位置会有一个向右的偏移。因此，可得到检验方法如下：从样本求出AF的值。对于给定的显著水平，自由度),1(rnr，查F分布的分位数表,可得分位数),1(1rnrF，使得)},1({1rnrFFPA，当),1(1rnrFFA时，拒绝0H：r21，这时，可以认为因子A的作用显著，否则，接受0H：r21，这时，可以认为因子A的作用不显著。单因子方差分析的计算步骤方差分析的计算比较复杂，用带统计功能的计算器计算时，最好按照下列步骤进行，并把计算结果填写在下列形式的表格中：水平观测值tjjiiXtX11tjijiiXXSS12)(rAA1trrtXXXX1111rXX1rSSSS1riiAXXtSS12)(riieSSSS1（1）从itiiiXXX,,,21求出tjjiiXtX11和tjijiiXXSS12)(,ri,,2,1。把itiiiXXX,,,21看作样本，tjjiiXtX11就是样本均值，tjijiiXXSS12)(就是样本方差tjijiXXtS122)(1再乘以样本观测次数t（或修正样本方差tjijiXXtS122)(11*再乘以1t）。所以，在计算器上计算时，只要像计算样本统１４２计量那样，求出样本均值就是iX，求出样本方差再乘以t（或求出修正样本方差再乘以1t）就是iSS。（2）从rXXX,,,21求出riiAXXtSS12)(。把rXXX,,,21看作样本，riiAXXtSS12)(就是样本方差riiXXrS122)(1乘以r再乘以t（或修正样本方差riiXXrS122)(11*乘以1r再乘以t）。（3）从rSSSSSS,,,21求出riieSSSS1。（4）列方差分析表来源平方和自由度均方F值分位数AASS1r)1(rSSMSAAeAAMSMSF),1(1rnrF误差eSSrn)(rnSSMSee总和TSS1n（5）当),1(1rnrFFA时拒绝0H，即认为因子A的作用显著，否则就接受0H，即认为因子A的作用不显著。例1为了研究肥料对小麦产量的影响，对4种不同的肥料各做4次试验，得到小麦亩产量（单位：kg）如下：肥料品种亩产量1A1981961901662A1601691671503A1791641811704A190170179188问：肥料品种对小麦亩产量有无显著影响？（显著水平05.0）解这可以看作是一个单因子方差分析问题。肥料品种就是因子A，设施用4种不同肥料的小麦亩产量分别为i～),(2iN，4,3,2,1i。检验肥料品种对小麦亩产量有无显著影响，相当于要检验假设0H：4321。计算结果见下表：１４３水平观测值（亩产量）iXiSS1A19819619016650.18700.6512A16016916715050.16100.2213A17916418117050.17300.1894A19017017918875.18175.25219.1527ASS75.1313eSS方差分析表为：来源平方和自由度均方F值分位数A19.1527ASS31r06.50965.4AF49.3)12,3(95.0F误差75.1313eSS12rn48.109总和94.2840TSS151n对显著水平05.0，自由度)12,3(),1(rnr，查F分布的分位数表，可得49.3),1(1rnrF，因为49.365.4AF，所以拒绝0H：4321，结论是：肥料品种对小麦亩产量有显著影响。比较各水平的均值，还可以看出，施肥料1A的小麦亩产量最高，施肥料2A的小麦亩产量最低。