江苏省高考数学复习专题导数(学生)

1江苏省高考数学复习专题导数1．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．2．(2010·江苏高考)函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.3．若函数f(x)＝ex－2x－a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是________．4．(2010·江苏高考)将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝梯形的周长2梯形的面积，则S的最小值是________．5．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝ex(x0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．[典例1](2012·扬州调研)已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exlnx(e是自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y2＝4(x－1)的切线，求a的值；(2)若对于任意x∈R，f(x)0恒成立，试确定实数a的取值范围；(3)当a＝－1时，是否存在x0∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．2第一问考查导数的几何意义；第二问还可采用分离参数构造函数求最值的方法，不过也要进行讨论；第三问先求f(x)的最小值，然后再研究函数h(x)＝g(x)－f(x)＝exlnx－ex＋x在x＝x0处的切线斜率，最后利用函数与方程思想，把方程实根的问题转化为函数的零点问题．[演练1]已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．[典例2](2012·苏锡常镇一调)若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间(也可在直线l，m上)，则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k)．(1)若曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤2)，求d(－1)；(2)已知k2，若曲线C：y＝x3－x(－1≤x≤2)，求关于k的函数关系式d(k)．3本题是一个即时定义问题，背景新颖，在解决第二问时要注意将k看成一个常数，对k进行讨论，探究出两条直线与曲线C的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经过点，并且了解经过哪个点．这些都可以利用导数这个工具解决．[演练2]设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．[典例3](2012·泰州中学期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值；(3)若过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．4本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、极值、最值等问题，一、二两问中规中矩，掌握好计算方法即可，第三问主要能够将“若过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线”转化成“关于切点横坐标x0的方程2x30－6x20＋6＋m＝0有三个不同的实数解”，问题就迎刃而解了．[演练3](2012·南京一模)已知函数f(x)＝x－1－lnx.(1)求函数f(x)的最小值；(2)求证：当n∈N*时，e1＋12＋13＋…＋1nn＋1；(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b都成立，则称直线y＝kx＋b是函数h(x)与g(x)的“分界线”．设函数h(x)＝12x2，g(x)＝e[x－1－f(x)]，试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由．[专题技法归纳](1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围和符号．(2)可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数表示曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可如下求得：①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．51．(2012·南通调研)设P是函数y＝x(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．2．若方程lnx－2x－a＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是________．3．若函数f(x)＝3x＋lnx在区间(m，m＋2)上单调递减，则实数m的范围是________．4．f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________，b＝________.5．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与y轴的交点的纵坐标为yn，令bn＝2yn，则b1·b2·…·b2010的值为________．6．已知函数y＝f(x)在定义域－32，3上可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集是________．7．曲边梯形由曲线y＝ex，y＝0，x＝1，x＝5所围成，过曲线y＝ex，x∈[1,5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是________．8．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不是单调函数，则t的取值范围是________．9．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在0，π2上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.10．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．11．已知函数f(x)＝a＋sinx2＋cosx－bx(a，b∈R)．(1)若f(x)在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值；6(2)若f(x)为奇函数，①是否存在实数b，使得f(x)在0，2π3为增函数，2π3，π为减函数？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；②如果当x≥0时，都有f(x)≤0恒成立，试求b的取值范围．12．(2012·无锡一中)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R.(1)若a0时，试求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1，x2，x3∈[0,1]，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．