数系的扩充与复数的概念,极坐标,几何证明参考答案

数系的扩充与复数的概念参考答案1．D2．解析：∵a＋bi＝(1－i)·i＝1＋i，∴a＝1，b＝1.故选B.答案：B3．解析：∵z＝i(1＋2i)＝－2＋i，∴复数z所对应的点为()－2，1，故选B.答案：B4．解析：设z＝x＋yi，(x，y∈R)，则x＋yi＋x2＋y2＝2＋8i.由x＋x2＋y2＝2y＝8解得x＝－15y＝8，∴|z|2＝(－15)2＋82＝289.故选B.答案：B5．解析：∵b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的实数根，∴b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，即(b2＋4b＋4)＋(a＋b)i＝0，∴b2＋4b＋4＝0a＋b＝0⇒a＝2b＝－2，∴z＝2－2i.答案：A6．解析：依题意2sinθ－1＝02cosθ－3≠0，又0＜θ＜π，∴θ＝5π6.答案：B7．解析：可设z－＝2＋bi，由z·z＝8得4＋b2＝8，b＝±2，zz＝z28＝()2±2i28＝±i.答案：D8．－2－i9．2210．解析：∵z＝m2－m＋(m2－1)i为实数，则m2－1＝0，∴m＝±1.答案：±111．解析：∵z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数，∴a2－1＝0a＋1≠0，∴a＝1，∴z＝2i，∴||z＝||2i＝2.答案：212．解析：(1)由m2－2m－15＝0解得m＝5或m＝－3，∴当m＝5或m＝－3时，z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是实数；(2)由m2－2m－15≠0解得m≠5且m≠－3，∴当m≠5且m≠－3时，z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是虚数；(3)由m2＋5m＋6＝0m2－2m－15≠0得m＝－2或m＝－3m≠5且m≠－3，∴m＝－2.∴当m＝－2时，z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i为纯虚数；(4)由m2－2m－15＞0解得m＜－3或m＞5，∴当m＜－3或m＞5时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点在x轴上方．(5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0得，m＝－3±414，∴当m＝－3±414时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点在直线x＋y＋5＝0上．第二课时复数代数形式的四则运算参考答案1．解析：i(1－3i)＝i＋3，故选B.答案：B2．B3．解析：1＋7i2－i＝1＋7i2＋i5＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3，故选B.答案：B4．解析：考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得(x－i2)＋(1－x)i＝y，由复数相等的条件得，x＝1，y＝2.故选D.答案：D5．解析：z＝3＋i3－i2－i＝102＋i2－i2＋i＝2(2＋i)＝4＋2i⇒||z＝42＋22＝25.答案：D6．解析：由题意，可取a＝1，b＝－1，c＝i，d＝－i，所以b＋c＋d＝－1＋i－i＝－1，故选B.答案：B7．A8．解析：本小题考查复数的除法运算，∵1－i1＋i＝－i，∴a＝0，b＝－1，因此a＋b＝－1.答案：－19．解析：∵z·z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝6－2i.答案：6－2i10．解析：∵iz1＋z25＝i2－i＋1＋3i5＝i2＋i5＋1＋3i5＝i，故其虚部等于1.答案：111．解析：由2xi232i＝x2得(2xi)(2i)－2×3＝x2，即(x＋2)2＝－2，∴x＝－2±2i.答案：－2±2i12．解析：直接验证可知①正确．当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确；对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；取S＝{0}，T＝{0,1}，满足S⊆T⊆C，但由于0－1＝－1∉T，故T不是封闭集，④错误．答案：①②第十五章选考部分第一讲几何证明选讲第一课时相似三角形的判定及其有关性质参考答案1.4092.123．解析：依题意知，FG垂直平分线段BE，过F作FH⊥CD，垂足为H.则∠ABE＝∠HFG，∴Rt△ABE∽Rt△HFG，∴ABEB＝FHFG，∵AB＝12，AD＝10，∴BE＝13，∴FG＝FH·EBAB＝10×1312＝656.答案：6564.解析：∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，∴S△ABE∶S△DAE＝1∶4，又△ABE∽△DAE，∴AB∶AD＝1∶2，又∵矩形的面积为40cm2，∴AB＝25，AD＝45，∴BD＝10，故AE＝4cm.答案：45．726.17.1∶28.99.1510．解析：∵∠BAM＋∠DAM＝∠DAM＋∠ADE＝90°，∴∠BAM＝∠ADE，∠ABM＝∠AED＝90°，∴△ABM∽△DEA，∴DEAB＝DAAM，DE＝DAAM×AB＝baa2＋b22＝2ab4a2＋b2.答案：2ab4a2＋b211．解析：△BCN中，取BN中点E，连DE，D为BC中点，则DE∥CN，在△ADE中，∵M为AD中点，MN∥DE，∴N为AE中点，故，N，E为AB的两个三等分点．故AN＝8.答案：812．证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE，又∵∠ACD＋∠A＝∠CBD＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠CBD，∴∠DCE＋∠ACD＝∠BCE＋∠CBD，即∠ACE＝∠CEA，∴AC＝AE.∵在Rt△ABC中，AC2＝AD·AB，∴AE2＝AD·AB.第二课时直线与圆的位置关系参考答案1.522.253.24．解析：由切割线定理得PD2＝PE·PF⇒PE＝PD2PF＝16×312＝4⇒EF＝8，∴OD＝4，∵OD⊥PD，∴OD＝12PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∠PDE＝∠EFD＝30°.答案：30°5．解析：∵∠PAB＝30°，∴∠ACB＝30°.∵BC是圆O的直径，且AC＝2，∴直径BC＝263，半径为63，∴圆O的面积为2π3.答案：2π36．37．15°8.329．解析：解法一：因为直线l与圆O相切于点C，∴∠ABC＝∠ACD(弦切角等于同弧对圆周角)，∵AB为圆O的直径，且AB＝6、BC＝3.∴在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，∴∠ACD＝60°，又∵AD⊥CD，∴∠DAC＝30°.解法二：连结OC，∵直线l切圆O于点C，∴OC⊥l，又AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAB＝∠COB＝60°，在Rt△ACB中，∠CAB＝30°，∴∠DAC＝30°.连结BE，易得在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，∴AE＝12AB＝3.答案：π6310．证明：∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠A，又∵∠D＝∠A，∴∠EFC＝∠D，又∠FEC＝∠DEF，∴△EFC∽△EDF，∴EFED＝ECEF.即EF2＝EC·ED，又∵EG切⊙O于G，∴EG2＝EC·ED，∴EF2＝EG2，∴EF＝EG.第二讲坐标系与参数方程第一课时坐标系参考答案1．C2．解析：直接代入公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，即得x＝2cos2π3＝－1，y＝2sin2π3＝3.答案：C3．解析：由伸缩变换x′＝12x，y′＝13y，得到x＝2x′y＝3y′.代入x2＝－3y，得到经过伸缩变换后的图形是(2x′)2＝－3·(3y′)，即x′2＝－94y′.答案：D4．B5．解析：若ρ1＝ρ2且θ1＝θ2，则两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)为同一点，一定重合；反之，由于点的极坐标的多样性，若M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)两点重合，但ρ1＝ρ2且θ1＝θ2不一定成立．所以，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的充分不必要条件．答案：A6．解析：由题设可知，A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点，又|AB|＝4，△ABC为正三角形(如图所示)．∴||OC＝23，∠AOC＝π2.∴点C的极角为θ＝π4＋π2＝3π4，或θ＝π4－π2＝－π4.则点C的极坐标是23，3π4，或23，－π4.答案：B7．解析：因为ρ＝32，θ＝π，代入极坐标与直角坐标的互化公式，得x＝32·cosπ＝－32，y＝32·sinπ＝0.所以点M的直角坐标是－32，0.答案：－32，08.12，32，31，π3，39．解析：依照伸缩变换公式，用待定系数法求解．设伸缩变换为x′＝λx，λ＞0，y′＝μy，μ＞0.代入2x′－y′＝4得到2λx－μy＝4.将上述与x－2y＝2即2x－4y＝4比较，得λ＝1，μ＝4.故所求的伸缩变换为x′＝x，y′＝4y.答案：x′＝xy′＝4y10．解析：在三角形OP1P2中，由余弦定理可求得．答案：||P1P2＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ2－θ1第二课时曲线的极坐标方程参考答案1．解析：ρsinθ＋π4＝22，ρsinθcosπ4＋ρcosθsinπ4＝22，x＋y＝1，与直线3x＋ky＝1垂直，3＋k＝0，k＝－3.答案：－32．解析：∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.答案：1∶13.2，π34．35．ρcosθ＝26.2－17．解析：由ρ2＝4ρsinθ，得x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.答案：x2＋(y－2)2＝48．239．(1,0)2，π410．2(3，－1)11.22，π412．解析：设M(ρ，θ)为直线l上除A以外的任意一点，如图，在Rt△AMO中，||OA＝||OMsin∠AMO，即ρsinθ＝a.可以验证，点Aa，π2的坐标满足上式．所以，所求的直线l的方程是ρsinθ＝a.答案：ρsinθ＝a第三课时参数方程参考答案1.12，122．解析：直线l1：kx＋2y＝k＋4，直线l2：2x＋y＝1，∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.答案：－13．64.8555.(－∞，0)∪(10，＋∞)6.27.858．39．x2＋(y－2)2＝42，π210.x＝2＋3cosθy＝－1＋3sinθ，(θ为参数)11．解析：设椭圆的参数方程为x＝4cosθy＝23sinθ(0≤θ＜2π，θ为参数)，点P(4cosθ，23sinθ)到直线l的距离．d＝||4cosθ－43sinθ－1212＋22＝85sinπ6－θ－32，∵0≤θ＜2π，∴－11π6＜π6－θ≤π6，∴－1≤sinπ6－θ≤1.∴当sinπ6－θ＝－1时，dmax＝45；当sinπ6－θ＝1时，dmin＝455.12．解析：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)．Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋32sinθ)．C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55||4cosθ－3sinθ－13.从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855