江西省2014届高考数学(文)专题阶段测试三角函数解三角形平面向量与复数

页1第三角函数、解三角形、平面向量与复数【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)题号12345678910答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z满足z·(1－i)＝3－i，i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i2．在梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝λ|DC|，设AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝()A．λa＋bB．a＋λbC.1λa＋bD．a＋1λb3．已知α为锐角，cosα＝55，则tanπ4＋2α＝()A．－3B．－17C．－43D．－74．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π3B.π4C.π6D.π125．(2013·石家庄教学质量检测)已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝()A．32B．22C.2D．16．设函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝π2时，取最大值A，在x＝3π2时，取最小值－A，则当x＝π时，函数y的值()A．仅与ω有关B．仅与φ有关C．等于零D．与φ，ω均有关7．(2013·湖北卷)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.π12B.π6页2第C.π3D.5π68．(2013·福建卷)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P0，32，则φ的值可以是()A.5π3B.5π6C.π2D.π69．据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为()A．4.2万元B．5.6万元C．7万元D．8.4万元10．(2013·浙江温州二模)在△ABC中，AC→·AB→|AB→|＝1，BC→·BA→|BA→|＝2，则AB边的长度为()A．1B．3C．5D．9第Ⅱ卷(非选择题共100分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二161718192021得分二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．(2013·武汉市武昌区联合考试)已知sinα－3cosα＝0，则sin2αcos2α－sin2α＝________.12．(2013·荆州市质量检查)已知向量a与b的夹角是2π3，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.13．(2013·济南市模拟考试)若函数f(x)＝2sinπ6x＋π3(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(OB→＋OC→)·OA→＝________.14．已知函数f(x)＝asinπ5x＋btanπ5x(a，b为常数，x∈R)．若f(1)＝1，则不等式f(31)＞log2x的解集为________．15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosC＋ccosA＝bsinB，则角C的大小为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)页3第16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间－π2，π2上的图象．页4第17.(本小题满分12分)(2013·山东菏泽一模)已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sinB，－3)，n＝cos2B，2cos2B2－1，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．18．(本小题满分12分)(2013·吉林通化二模)已知函数f(x)＝sinωx＋π6＋sinωx－π6－2cos2ωx2，x∈R(其中ω＞0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y＝f(x)的单调增区间．19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2sinπx6＋π3(0≤x≤5)，点A、B分别是函数y＝f(x)图象上的最高点和最低点．(1)求点A、B的坐标以及OA→·OB→的值；(2)设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．页5第20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1(x∈R)．(1)若函数h(x)＝f(x＋t)的图象关于点－π6，0对称，且t∈(0，π)，求t的值；(2)设p：x∈π4，π2，q：|f(x)－m|＜3，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin2x2＋π12＋3sinx2＋π12cosx2＋π12－12.(1)在△ABC中，若sinC＝2sinA，B为锐角且有f(B)＝32，求角A，B，C；(2)若f(x)(x＞0)的图象与直线y＝12交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，求数列{xn}的前2n项和，n∈N*.详解答案专题阶段评估(二)一、选择题1．C由z·(1－i)＝3－i得，z＝3－i1－i＝3－i1＋i1－i1＋i＝3＋2i－i21－i2＝4＋2i1－i2＝2＋i，故选C.页6第2．CAC→＝AD→＋DC→＝b＋1λAB→＝b＋1λa.故选C.3．B依题意得，sinα＝255，故tanα＝2，tan2α＝2×21－4＝－43，所以tanπ4＋2α＝1－431＋43＝－17.4．A在△ABC中，a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)．∵2asinB＝3b，∴2sinAsinB＝3sinB.∴sinA＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.5．A因为a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，所以4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－22|b|－6＝0，解得|b|＝32或|b|＝－2(舍)，故选A.6．Cπ2＋3π22＝π，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知，x＝π时，函数y的值为0.正确答案为C.7．B由于y＝3cosx＋sinx＝2cosx－π6，向左平移m(m＞0)个单位长度后得到函数y＝2cosx＋m－π6的图象．由于该图象关于y轴对称，所以m－π6＝kπ(k∈Z，m＞0)，于是m＝kπ＋π6(k∈Z，m＞0)，故当k＝0时，m取得最小值π6.8．B∵P0，32在f(x)的图象上，∴f(0)＝sinθ＝32.∵θ∈－π2，π2，∴θ＝π3，∴f(x)＝sin2x＋π3，∴g(x)＝sin2x－φ＋π3.∵g(0)＝32，∴sinπ3－2φ＝32.验证，φ＝56π时，sinπ3－2φ＝sinπ3－53π＝sin－43π＝32成立．9．D由题意得函数f(x)图象的最高点为(3,9)，相邻的最低点为(7,5)，则A＝9－52＝2，T2＝7－3，∴T＝8，又∵T＝2πω，∴ω＝π4，页7第∴f(x)＝2sinπ4x＋φ＋7，把点(3,9)代入上式，得sin3π4＋φ＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4，则f(x)＝2sinπ4x－π4＋7，∴当x＝10时，f(10)＝2sinπ4×10－π4＋7＝2＋7≈8.4.10．BAB→|AB→|表示在AB→方向上的单位向量．设△ABC各边分别为a，b，c，则AC→·AB→|AB→|＝b·cosA＝1，同理，BC→·BA→|BA→|＝a·cosB＝2.由余弦定理可得b·b2＋c2－a22bc＝1，a·a2＋c2－b22ac＝2，解方程组得c＝3或0(舍)．故选B.二、填空题11．解析：sinα＝3cosα⇒tanα＝3，则2sinαcosαcos2α－sin2α＝2tanα1－tan2α＝－34.答案：－3412．解析：若a⊥(2a＋λb)，则a·(2a＋λb)＝0，即2|a|2＋λ·|a||b|·cos2π3＝0，∴2＋λ×1×4×－12＝0，∴λ＝1.答案：113．解析：由题意知，点A(4,0)，根据三角函数的图象，点B、C关于点A对称，设B(x1，y1)，则C(8－x1，－y1)．故(OB→＋OC→)·OA→＝8×4＝32.答案：3214．解析：f(31)＝asinπ5×31＋btanπ5×31＝asinπ5＋btanπ5＝f(1)＝1，f(31)＞log2x⇔1＞log2x⇔0＜x＜2.答案：{x|0＜x＜2}15．解析：∵m⊥n，∴3cosA－sinA＝0，∴2sinπ3－A＝0，∴A＝π3.由余弦定理得，acosC＋ccosA＝a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc＝b.页8第又∵acosC＋ccosA＝bsinB，∴sinB＝1，∴B＝π2，∴C＝π6.答案：π6三、解答题16．解析：(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋2(sin2xcosπ4－cos2xsinπ4)＝1＋2sin2x－π4，∴函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1＋2.(2)由(1)知x－π2－3π8－π8π83π8π2y211－211＋22故函数y＝f(x)在区间－π2，π2上的图象如下图所示．17．解析：(1)m∥n⇒2sinB·2cos2B2－1＋3cos2B＝0⇒sin2B＋3cos2B＝0⇒2sin2B＋π3＝0(B为锐角)⇒2B＝2π3⇒B＝π3.(2)cosB＝a2＋c2－b22ac⇒ac＝a2＋c2－4≥2ac－4⇒ac≤4.S△ABC＝12a·c·sinB≤12×4×32＝3.18．解析：(1)f(x)＝32sinωx＋12cosωx＋32sinωx－12cosωx－(cosωx＋1)＝232sinωx－12cosωx－1＝2sinωx－π6－1.由－1≤sinωx－π6≤1，得－3≤2sinωx－π6－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．页9第(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin2x－π6－1，再由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．19．解析：(1)∵0≤x≤5，∴π3≤πx6＋π3≤7π6，∴－12≤sinπx6＋π3≤1.当πx6＋π3＝π2，即x＝1时，sinπx6＋π3＝1，f(x)取得最大值2；当πx6＋π3＝7π6，即x＝5时，sinπx6＋π3＝－12，f(x)取得最小值－1.因此，点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5，－1)．∴OA→·OB→＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)∵点A(1,2)、B(5，－1)分别在角α、β的终边上，∴tanα＝2，tanβ＝－15，∵tan2β＝2×－151－－152＝－512，∴tan(α－2β)＝2－－5121＋2·－512＝292.20．解析：(1)f(x)＝2s