区间数的运算及其应用

区间数的运算及其在管理上应用兰继斌[e-mail]区间数的运算•定义1设a=[a-,a+]={x︱a-≤x≤a+,a-,a+∈R},则称是一个区间数。特别地，如果a-=a+，则是a一个普通实数。•设a=[a-,a+],b=[b-,b+]两个区间数，a=b当且仅当a-=b-，a+=b+。•两个区间数a=[a-,a+],b=[b-,b+]之间的二元运算关系如下区间数的运算•（1）加法运算：•a＋b=[a-+b-,a++b+]•（2）减法运算：•a-b=[a--b+,a+-b-]•（3）乘法运算：•ab=[min{a-b-,a-b+,a+b-,a+b+},max{a-b-,a-b+,a+b-,a+b+},]区间数的运算•特别地，当区间数a，b为非负区间数时，即a-≥0，b-≥0，有•ab=[a-b-,a＋b＋]•数乘运算：,,0,,0bbbbb区间数的运算•（4）除法运算：•特别地，当区间数a，b为正区间数时，有[,]11[,].[,][,]aaaaabbbbb[,]aaabbb[,]aaabbb[,]aaabbb[,]aaabbb[,]aaabbb[,]aaabbb[,]aaabbb[,]aaabbb区间数的运算•（5）指数关系：•其中为实数c1，a为正区间数；•（6）对数关系：•其中为实数c1，b为正区间数；[,]aaaccclog[log,log]caabbb区间数的运算•（7）乘方运算：•其中a为正区间数；•开方运算：•其中a为正区间数；[(),()]nnnaaa[,]nnnaaa区间数的比较•为了方便，设区间数a=[a-,a+]和b=[b-,b+]。•方法1•日本学者Nakaharaetal给出了如下的区间数大小比较的可能度公式：()min{max,0,1}()()abPabaabb区间数的比较•方法2•张全，樊治平给出了比较两个区间数大小的可能度，即201()2()()12ababbaPbabaaabbbabbabbaaaaa区间数的比较•方法3•达庆利，刘新旺针对目标函数和约束条件的系数均为区间数的线性规划问题，在提出基于模糊约束满意度的求解方法的过程中，给出了如下两个区间数大小比较的可能度，为()max{0,1max0,}()()abpabaabb区间数的比较•方法4•张兴芳，张兴伟给出了基于可信度的两个区间数大小比较的方法为：2222abifabaabbababifaabbabifababifabab或拟大于拟等于且且区间数的比较•方法5•徐泽水，达庆利给出了两个区间数大小比较的可能度，得到一个可能度矩阵进行排序。•（1）均是实数时，称的可能度为1,()0,abpabab区间数的比较•(2)a,b同时为区间数或者有一个为区间数时，a≥b的可能度定义为()max{1max,0,0}()()bapabaabb区间数的比较•区间数可能度的二维定义•设a=[a-,a+],b=[b-,b+],且a-≠a+，b-≠b+,在图1中，s′是a≥b的部分，故图1'()spabssoa-a+b-b+y=xS′S〞XY区间数的比较•方法6•Ishibuchi和Tanaka在求解目标函数系数为区间数的线性规划问题时,定义了一种两个区间数比较的弱偏好序关系,具体如下:m()()()()11()(),()()22LRmwLRLRmwmwabiffabababiffabababiffambwawbabiffababmaaawaaa且且且且其中，区间数在财务评价中的应用•区间数在财务评价中的应用•净现值法在项目投资决策、投资评价、债券评价、医疗设备投资决策、长期投资决策及项目投资柔性等方面得到广泛的应用，是经济活动评判的一种重要方法。净现值指标也是项目财务评价和社会经济评价的重要指标之一。目前，对净现值法的研究及成果主要有：基于有效性测度研究区间数在财务评价中的应用•模糊投资支出和净现金流量，利用模糊机会约束规划模型资本预算问题，由仿真遗传算法求解机会约束规划模型问题；采用风险累加法及参考经验数据法确定折现率，并引入实物期权理论对净现值法进行研究；采用动态观念和方法来对现金流量及折现率进行测算；从再投资假设和对项区间数在财务评价中的应用•目现金流的重新分类的角度，修正净现值法的计算模式；采用信息论中的“熵”作为度量项目投资风险的数量指标，结合现金流量随机过程分析，就风险补偿率问题给出了在风险条件下的随机净现值分析方法；从不确定性角度研究净现值问题；结合概率上的偏差，用资产定价模型估计改进净现值方法。在实际应用过程中，净现值法存在较大的局限性，主要表现在：区间数在财务评价中的应用•1）各期净现金流和折现率的确定较为困难。由于大多数的投资项目风险较高，影响因素较多，因而投资项目的各期净现金流量和折现率经常变化，往往难以确定，特别是长期投资项目更是如此。我们可以观察2007年至今中国股票市场的变化及中国人民银行对利率的调整情况。区间数在财务评价中的应用•2）忽视了投资项目中的经营柔性，导致在许多情况下对项目价值的低估。现实中，决策者会根据具体的市场环境灵活调整投资决策，净现值法不能反映这种灵活性。净现值法假设项目投产后总是按决策之初的既定程序进行，未考虑决策者对未来变化的适时调整。预测往往是有偏差的，偏差200％也不奇怪。区间数在财务评价中的应用•3）传统的净现值法假定年利率是固定的，这不符合现实情况。从经济发展的角度来说，经济发展不是平稳的，年利率是随经济的发展而变化的，即年利率可能是一个随机变量。从人对事物认识的角度上说，人们对事物发展的估计通常是模糊的，不是精确的，并且人们对事物变化的承受能力有一个范围，如果事物的变化在这个范围内，是可以接受的，一旦超出这个范围，则人们就不会接受因这一变化而产生的结果。区间数在财务评价中的应用•净现值（netpresentvalue，NPV）是项目投资决策中应用十分广泛的评价标准。净现值投资评价法的原理简单且重要，即只有当投资项目的产出大于或至少等于其投入时，该投资才是值得的。净现值指标是对投资项目进行动态评价的最重要指标之一，该指标要求考察项目寿命期内每年发生的现金流量，按一定的折现率将各年净现金流量折现到同一点（通常是期初）的现值累加值就是净现值，即：区间数在财务评价中的应用01(1)NtttFNPViiNPVOi*图1区间数在财务评价中的应用•式（1）中，NPV为净现值，Ft为第t年的净现金流量，i为折现率。决策准则为：①若NPV≥0，则认为项目在经济效益上是可被接受；②若NPV＜0，则认为项目在经济效益上是不可被接受的。区间数在财务评价中的应用•假定决策者对某投资项目发生在寿命期内第t年的净现金流量估计为Ft，其中t=0，1，2，…，N；Ft=[Ft-，Ft+]为区间数；期望的折现率估计为i=[i-，i+]。由区间数的运算法则和式(1)可得项目区间净现值：000[,][,](1[,])[,]2(1)(1)NttttNNttttttFFINPVNPVNPViiFFii区间数在财务评价中的应用•为分析方便，假定项目投资均在期初，且项目期初投资额是确定的，设为F0，投资后每年的净现金流量估计为区间数Ft=[Ft-，Ft+]，其中t=1，2，…，N，折现率估计为区间数i=[i-，i+]，项目寿命周期为N，由式（2）可得：0101(),(1)3()(1)NtttNtttFNPViFiFNPViFi区间数在财务评价中的应用•1）当时NPV-(i+)0，净现值均大于0(如图1)，从经济效益上来说该方案是获利的，投资方案可以接受。oNPVii-i+NPV-(x)NPV+(x)图1区间数在财务评价中的应用•2）当时NPV+(i-)0，净现值均小于0(如图2)，从经济效益上来说该方案是亏损的，投资方案不可以接受。oNPVii-i+NPV-(x)NPV+(x)图2区间数在财务评价中的应用•3）当NPV-(i+)0且NPV+(i-)0时，不能确定净现值是大于0还是小于0，从经济效益上来说不能确定该方案是否获利，此时又可分成下列4种情况来考虑：区间数在财务评价中的应用•①如图3所示，NPV-(i+)0且NPV+(i-)0时，此时存在i1*,i2*∈[i-，i+]，分别使得NPV-(i1*)=0和NPV+(i2*)=0成立。当时i∈[i-，i1*]，净现值均大于0，方案从经济效益上来说是获利的，投资方案可以接受；区间数在财务评价中的应用i-oNPViNPV-(x)NPV+(x)i+i1*图3i2*s′s〞区间数在财务评价中的应用•当时i∈(i1*，i2*]，不能确定净现值大于0还是小于0，方案从经济效益上来说不能确定是否获利，即不能确定投资方案是否可以接受；当时i∈(i2*，i+]，净现值均小于0，方案从经济效益上来说是亏损的，投资方案不可以接受。也可以考虑获得收益的可能度:•s′/(s′+s〞)区间数在财务评价中的应用•②如图4所示，NPV-(i-)0且NPV+(i+)0，此时存在i1*∈[i-,i+]，使得NPV-(i1*)=0成立。当i∈[i-,i1*]时，净现值均大于0，方案从经济效益上来说是获利的，投资方案可以接受；当i∈[i1*,i+]时，不能确定净现值大于0还是小于0，方案从经济效益上来说不能确定是否获利，即不能确定投资方案是否可以接受。区间数在财务评价中的应用oNPVii-i1*i+NPV-(x)NPV+(x)图4S′S〞区间数在财务评价中的应用•③如图5所示，NPV-(i-)0且NPV+(i+)0，此时存在i2*∈[i-,i+]，使得NPV+(i2*)=0成立。当i∈[i-,i2*]时，不能确定净现值大于0还是小于0，方案从经济效益上来说不能确定是否获利，即不能确定投资方案是否可以接受；当i∈[i2*,i+]时，净现值均小于0，方案从经济效益上来说是亏损的，投资方案不可以接受。区间数在财务评价中的应用oNPVii-i2*i+NPV-(x)NPV+(x)图5区间数在财务评价中的应用•④如图6所示，NPV-(i-)0且NPV+(i+)0，此时存在i1*,i2*∈[i-,i+]，使得NPV－(i1*)=0和NPV+(i2*)=0成立。当i∈[i-,i+]时，不能确定净现值大于0还是小于0，方案从经济效益上来说不能确定是否获利，即不能确定投资方案是否可以接受。区间数在财务评价中的应用oNPVii-i+NPV-(x)NPV+(x)图6区间数在财务评价中的应用•将上述决策信息告知决策者，由决策者根据对未来折现率的期望值来对项目进行决策：如果决策者对未来折现率的期望值在项目可获利的折现率范围之内，可考虑是否接受投资方案；如果决策者不舍弃投资方案，则可由其提供新的净现金流量及折现率的估计区间；待再次对项目进行决策分析后，将决策信息反馈给决策者，再由决策者对投资方案进行决策。区间数在财务评价中的应用•基于区间数折现率的项目投资回收期•项目在期初支付投资额为F0(F00)，当年产生受益，设决策者对折现率的估计为区间数i=[i-,i+]，第t年的现金流量估计为区间数Ft=[Ft-,Ft+]，由区间数的运算法则知，第t年的现值为区间数•,11ttttFFii区间数在财