2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题

2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A，{|02}Bxx，则AB()（A）{1}（B）{1,2}（C）{0,1,2}（D）{02}xx（2）已知向量(,6)ma，(1,3)b，且ab，则m()（A）18（B）2（C）18（D）2（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)上是增函数的是（）（A）()2xfx（B）3()fxx（C）()lgfxx（D）()sinfxx（4）命题2:2,10pxx，则p是（）（A）22,10xx（B）22,10xx（C）22,10xx（D）22,10xx（5）已知3tan4，sin0，则cos（）（A）35（B）35（C）45（D）45（6）若角的终边经过点0(1,)y，则下列三角函数值恒为正的是（）（A）sin（B）cos（C）tan（D）sin(π)（7）为了得到函数πsin()3yx的图象，只需把函数sinyx的图象上的所有点（）（A）向左平移2π3个单位长度（B）向左平移π3个单位长度（C）向右平移π3个单位长度（D）向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆O相交于点P.过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角的函数记为()f.则下列关于函数()f的说法正确的是（）（A）()f的定义域是π{|2π,}2kkZ（B）()f的图象的对称中心是π(π,0),2kkZ（C）()f的单调递增区间是[2π,2ππ],kkkZ（D）()f对定义域内的均满足(π)()ff二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()lnfxx=，则2(e)f=.（10）已知(1,2)a，(3,4)b，则ab______；2ab______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A，{3,5}B，集合S满足SA¹Ì，SBA.则一个满足条件的集合S是.（12）已知()fx是定义域为R的偶函数，当0x³时，()fxxx=+，则不等式()20fx-的解集是.（13）如图，扇形AOB中，半径为1，AB的长为2，则AB所对的圆心角的大小为弧度；若点P是AB上的一个动点，则当OAOPOBOP取得最大值时，,OAOP.（14）已知函数122,,()2,.xxafxxaxa（Ⅰ）若函数()fx没有零点，则实数a的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a为函数()fx的包容数，如果函数()fx满足对任意1(,)xa，都存在2(,)xa，使得21()()fxfx.在①12；②12；③1；④2；⑤32中，函数()fx的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）TPyxOPBAO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共11分）已知函数π()2sin(2)3fxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期T；（Ⅱ）求()fx的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66fxxT的简图，并直接写出函数()fx在区间π2[,π]63上的取值范围.(16)（本小题共10分）已知函数2()fxxbxc，存在不等于1的实数0x使得00(2)()fxfx.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数()fx在(1,)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出(3)cf与(2)cf的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD中，2CDBO，2OAAD，90D，且1BOAD.（Ⅰ）用,OAOB表示CB；（Ⅱ）点P在线段AB上，且3ABAP，求cosPCB的值.(18)（本小题共12分）设函数()fx定义域为I，对于区间DI，如果存在12,xxD，12xx，使得12()()2fxfx，则称区间D为函数()fx的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)是否是函数31xy的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数logayx（其中0,1aa）的ℱ区间，求a的取值范围;（Ⅲ）设为正实数，若[π,2π]是函数cosyx的ℱ区间，求的取值范围.附加题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：52.310秒）.声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始.已知点800,0位于图④中波形曲线上.（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②）（Ⅱ）请你选择适当的函数模型,0,2000yfxx来模仿图④中的波形曲线：fx___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）.高一年级期末统一练习数学参考答案及评分标准2019．01一.选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADBCDBAB二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）2（10）11；61（11）{1,2,3,4}（或{1,2,4,5}或{1,2,4}）（12）{|1,xx或1}x（13）2；0（14）0a或2a；②③注：两空的题，每空2分；（12）题对一半（只答出1x，或1x），给2分；（14）题第一空，答对一半给1分，第二空，有错选，此空得0分，若只少选一个给1分。三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）2ππ2T.……………………2分（Ⅱ）由πππ2π22π232kxk，kZ得……………………4分5ππππ1212kxk，kZ.所以函数()fx的单调递增区间是：5ππ[π,π]1212kk，kZ.……………………6分（Ⅲ）函数ππ()([,])66fxxT的简图如图所示.……………………8分-π611yxO函数()fx在区间π2[,π]63上的取值范围是[2,3].……………………11分注：[2,3]中每一个端点正确给1分，括号正确1分。（16）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为实数0x使得00(2)()fxfx，所以220000(2)(2)xbxcxbxc，……………………1分即0(24)(1)0bx.因为01x，所以240b，即2b.……………………3分经检验，2b满足题意，所以2b.（Ⅱ）函数()fx在(1,)上单调递增，证明如下：……………………4分任取1x，2x(1,)，当12xx时，12120,20xxxx.所以1212()(2)0xxxx.……………………6分所以22121122()()2(2)fxfxxxxx……………………7分2212121212(22)()(2)0xxxxxxxx，即12()()fxfx.所以函数()fx在(1,)上单调递增.……………………8分（Ⅲ）当0c时，(3)(2)ccff；当0c时，(3)(2)ccff.……………………10分注：直接答(3)(2)ccff，给2分；若只有(3)(2)ccff，给1分。（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）因为2OAAD，所以32DOAO.……………………1分因为2CDBO，所以=++CBCDDOOB……………………3分322BOAOOB32OAOB.……………………5分（Ⅱ）因为2CDBO，所以OBCD.……………………6分因为2OAAD，所以点,,OAD共线.因为90D，所以90O.以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为1BOAD，2CDBO，2OAAD，所以(2,0),(0,1),(3,2)ABC.所以(1,2)AC，(2,1)AB.……………………7分因为点P在线段AB上，且3ABAP，所以121(,)333APAB.……………………8分所以55(,)33CPAPAC.……………………9分yxPDCBAO因为(3,1)CB，所以55253cos552103CPCBPCBCPCB.……………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）(,)不是函数31xy的ℱ区间，理由如下：……………………1分因为对(,)x，30x，所以311x.……………………2分所以12,(,)xx均有12(31)(31)2xx，即不存在12,(,)xx，12xx，使得12()()2fxfx.所以(,)不是函数31xy的ℱ区间.………………………3分（Ⅱ）由1[,2]2是函数logayx（其中0,1aa）的ℱ区间，可知存在121,[,2]2xx，12xx，使得12loglog2aaxx.所以212xxa.……………………4分因为121212,212,2,xxxx所以12144xx，即2144a.……………………5分又因为0a且1a，所以1(,1)(1,2)2a.……………………6分（Ⅲ）因为[π,2π]是函数cosyx的ℱ区间，所以存在12,[π,2π]xx，12xx，使得12coscos2xx.所以12cos1,cos1.xx……………………7分所以存在,klZ，使得122π,2π.xkxl不妨设12π2πxx.又因为0，所以12π2πxx.所以222kl.即在区间[,2]内存在两个不同的偶数.……………………8分①当4时，区间[,2]的长度24，所以区间[,2]内必存在两个相邻的偶数，故4符合题意.……………………9分②当04时，有02228kl，所以2,2{2,4,6}kl.（i）当24,26kl时，有4,62,即34.所以34也符合题意.……………………10分（ii）当22,24kl时，有2,42,即2.所以2符合题意.（iii）当22,26kl时，有2,62,即2,3.此式无解.综上所述，的取值范围是{2}[3,).……………………12分附加题（Ⅰ）②……………………2分（Ⅱ）cos0.03x（答案不唯一）……………………5分注：对于其它正确解法，相应给分.