第一章-有限元的基本理论

有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系有限元法及其应用第一章有限元的基本理论主讲：张翼中北大学车辆与动力工程系有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系教学内容有限元法的基本思想和基本步骤连续梁问题有限元数学模型的建立方法有限元分析软件概述有限元法在结构分析中的应用介绍有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系教学目的了解：有限元分析软件、有限元法在结构分析中的应用掌握：弹性力学的基本方程能量变分原理重点：有限元法的基本思想有限元法的基本步骤有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第一节有限元法的基本思想和基本步骤有限元分法是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。定义历史典故•结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。•有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系物理系统举例几何体载荷物理系统结构热电磁有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系有限元模型真实系统有限元模型有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系自由度（DOFs）自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构位移热温度电电位流体压力磁磁位方向自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系节点和单元(1)节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系节点和单元(2)每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。历史典故早期ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系节点和单元(3)信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB........AB...1node2nodes有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系节点和单元(4)节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系单元形函数(1)•FEA仅仅求解节点处的DOF值。•单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。•因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。•单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。•单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近(不理想结果).2单元形函数(2)节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..4有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系单元形函数(3)遵循:•DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。•这些平均意义上的典型解是从单元DOF推导出来的（如，结构应力，热梯度）。•如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系单元形函数(4)遵循原则:•当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。•在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系有限元法的分类位移法：以节点位移为基本未知量；力法：以节点力为基本未知量；混合法：一部分以节点位移为基本未知量，一部分以节点力为基本未知量。有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系有限元法的基本思想对弹性区域离散化将单元内任一节点位移通过函数表达（位移函数）建立单元方程进行单元集成，在节点上加外载荷力引入位移边界条件进行求解求解得到节点位移根据弹性力学公式得到单元应变、应力有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系有限元法的基本步骤niiiyeeeFkFK1.结构离散；2.单元分析a.建立位移函数b.建立单元刚度方程c.计算等效节点力3.进行单元集成；4.得到节点位移；5.根据弹性力学公式计算单元应变、应力。有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系弹性力学的基本方程1.位移和应变之间的几何关系（几何变形方程）位移分量矩阵表达式：Twvuwvu应变分量矩阵表达式：Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系应变分量与位移分量之间的关系：zuxuywxuxvyuzwyvxuzxyzxyzyx有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系剪应变与正应变之间的关系（平面问题）：222222222xyyvxxuyyxyxxy剪应变与正应变之间的关系（三维问题）：zyxxzyxyzxyzx22有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系2.应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）应力分量矩阵表达式：应变和应力的关系：TzxyzxyzyxzxyzxyzyxExxExxzyG有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系2.应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）剪切弹性模量和弹性模量之间的关系：12EG有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系2.应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）应变和应力的相互换算：zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111111有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系3.应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）力的分类：体积力（内力）、表面力（外力）•体积力：重力、离心力、惯性力等•表面力：外载荷、流体静压力等根据力的平衡条件：000zzyzxzzyzyyxyyxzxyxxxpzyxFpzyxFpzyxF有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系3.应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）根据合力矩为零的平衡条件：（作用在单元体上的力对x、y、z轴取矩）zyyzzxxzyxxy有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系1、平面应力问题条件：等厚度薄板（厚度截面尺寸/15）状弹性体；受力方向沿薄板方向。假设：力与板平行，沿厚度方向均匀分布，沿厚度方向应力分量为零，薄板不失稳。特点：例子：链传动中的链片、连杆、飞轮、小齿宽的直齿圆柱齿轮平面问题的定义0zzxzy有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系2、平面应变问题条件：力与平面平行，沿厚度方向均匀分布；垂直于平面方向不产生变形。假设：沿厚度方向的变形为零。特点：例子：水坝等平面问题的定义0zzxzy有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法离散化单元分析整体分析支撑条件的引入非节点载荷的处理解方程有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法..M1.....M2M3连续梁铰接点作用有力矩载荷，求连续梁的内力。问题有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁铰接点作用有力矩载荷，求连续梁的内力。离散化..M1.....M2M3单元1单元2节点1节点2节点3有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法取出一个单元，进行分析，求出单元转角。最终求出单元的刚度矩阵。单元分析eim.....ijejmeiej单元e有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法单元分析a.只有i点受到作用力矩，求单元转角eim.....ijeiieji单元e有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法单元分析.....ijejmejiejj单元eb.只有j点受到作用力矩，求单元转角有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法单元分析c.刚度矩阵的意义1ei1ejjjjiijiikkkkeimejmeeekm有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法整体分析在单元分析的基础上，得到整体刚度矩阵。..M1.....M2M3单元1单元2节点1θ1节点2θ2节点3θ3KM有限元法及其应用－－－第一章有限元的基本理论中北大学车辆与动力工程系第二节连续梁问题有限元数学模型的建立方法支撑条件的引入已知：M1、M2、θ3未知：θ1、θ2、M3。..M1...M2M3单元1单元2节点1θ1节点2θ2节点3θ3=0有限元法及其应用－－－第一章有限元的