圆锥曲线知识要点及结论个人总结

纯粹个人整理，盗版必须问我1《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1定义平面内到两定点21,FF的距离的和等于常数)2(221FFaa的点P的轨迹叫做椭圆.若212FFa，点P的轨迹是线段21FF.若2120FFa，点P不存在.2标准方程)0(12222babyax，两焦点为)0,(),0,(21cFcF.)0(12222babxay，两焦点为),0(),,0(21cFcF.其中222cba.3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴.椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.椭圆的顶点有四个，长轴长为a2，短轴长为b2，椭圆的焦点在长轴上.若椭圆的标准方程为)0(12222babyax，则bybaxa,；若椭圆的标准方程为)0(12222babxay，则ayabxb,.二、双曲线1定义平面内到两定点21,FF的距离之差的绝对值等于常数)20(221FFaa的点的轨迹叫做双曲线.若212FFa，点P的轨迹是两条射线.若212FFa，点P不存在.2标准方程)0,0(12222babyax，两焦点为)0,(),0,(21cFcF.)0,0(12222babyax，两焦点为),0(),,0(21cFcF.其中222bac.3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心.双曲线的顶点有两个21,AA，实轴长为a2，虚轴长为b2，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为)0,0(12222babyax，则Ryaxax,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222babxay，则Rxayay,或.纯粹个人整理，盗版必须问我24渐近线双曲线)0,0(12222babyax有两条渐近线xaby和xaby.即02222byax双曲线)0,0(12222babxay有两条渐近线xbay和xbay.即02222bxay双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.与双曲线)0,0(12222babyax共渐进线的双曲线可表示为)0(2222byax.直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0”和“0”同时成立.5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222aayax或)0(12222aaxay.等轴双曲线的渐近线方程为xy.6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222babyax的共轭双曲线为)0,0(12222baaxby，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22ba为半径的圆上.且它们的渐近线都是xaby和xaby.三、抛物线1定义平面内与一个定点F和一条定直线Fl(不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2标准方程(1))0(22ppxy，焦点为)0,2(p，准线方程为2px，抛物线张口向右.(2))0(22ppxy，焦点为)0,2(p，准线方程为2px，抛物线张口向左.(3))0(22ppyx，焦点为)2,0(p，准线方程为2py，抛物线张口向上.(4))0(22ppyx，焦点为)2,0(p，准线方程为2py，抛物线张口向下.其中p表示焦点到准线的距离.3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22ppxy或)0(22ppxy，纯粹个人整理，盗版必须问我3则对称轴是x轴，若方程为)0(22ppyx或)0(22ppyx，则对称轴是y轴.若抛物线方程为)0(22ppxy，则Ryx,0.若抛物线方程为)0(22ppxy，则Ryx,0.若抛物线方程为)0(22ppyx，则Rxy,0.若抛物线方程为)0(22ppyx，则Rxy,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1已知椭圆)0(12222babyax的两焦点为)0,(),0,(21cFcF，),(00yxP为椭圆上一点，则)1()()(22022020201axbcxycxPFaacxaacxacxaxc020202202)(2因为axa0，caaacxcacacxc000,，所以aacxPF01.同理，acxaPFaPF0122.已知双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为)0,(),0,(21cFcF，),(00yxP为双曲线上一点，则aacxPF01，aacxPF02.2椭圆)0(12222babyax的两焦点为21,FF，P为椭圆上一点，若21PFF，则21PFF的面积为2tancos1sin22bb.解：根据椭圆的定义可得aPFPF221①由余弦定理可得cos242122212212PFPFPFPFFFc②纯粹个人整理，盗版必须问我4由①②得)cos1(2442122PFPFca.从而cos12221bPFPF所以，21FPF的面积为2tancos1sinsin212221bbPFPF双曲线)0,0(12222babyax的两焦点为21,FF，P为其上一点，若21PFF，则21PFF的面积为2cotcos1sinsin212221bbPFPF.3已知椭圆)0(1:2222babyaxC，NM,是C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PNPM,的斜率都存在，并记为PNPMkk,时，那么PMk与PNk之积是与点P位置无关的定值.解：设),(),,(1100yxMyxP，则),(11yxN.01010101,xxyykxxyykPNPM，从而2120212001010101xxyyxxyyxxyykkPNPM.又因为),(),,(1100yxMyxP都在椭圆上，故1,1221221220220byaxbyax.两式相减得，02212022120byyaxx，因而2221202120abxxyy即22abkkPNPM.类似结论已知双曲线)0,0(12222babyax.NM,是C上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PNPM,的斜率都存在，并记为PNPMkk,时，那么PMk与PNk之积是与点P位置无关的定值.【常用方法】1在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线l与圆锥曲线C相交于两点的问题，若已知l过定点),(00yxP，则可设l的方程为0xx或)(00xxkyy.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直纯粹个人整理，盗版必须问我5线方程代入曲线C的方程中，整理得到关于x或y的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l的条件不明显时，则可设l的方程为mx或mkxy.3本章还经常用到“点差法”：设直线l与圆锥曲线C交于点),(),,(2211yxByxA,则BA,两点坐标都满足曲线C的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB的斜率1212xxyy的表达式，也经常会出现2121,yyxx，这样又可以与线段AB的中点),(00yxP联系起来！4若三点),(),,(),,(002211yxPyxByxA满足以线段AB为直径的圆经过点P或BPAP时，常用处理方法有：①根据勾股定理可得222PBPAAB；②根据AP的斜率与BP的斜率之积为1，可得120201010xxyyxxyy；③根据),(),,(,002020101yyxxPByyxxPAPBPA可得0))(())((02010201yyyyxxxx.5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.圆锥曲线中有用的结论1椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb.离心率221cbeaa，△PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离(焦准距)2bpc。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22ba.2椭圆22221(0)xyabab焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:纯粹个人整理，盗版必须问我621()aPFexaexc，22()aPFexaexc；1221||tan2FPFPFPFScyb。3椭圆的的内外部:（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.4椭圆的切线方程:(1)椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.（2）过椭圆22221xyab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.5双曲线22221(0,0)xyabab的离心率221cbeaa，△PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.焦点在x轴的2222x(0)ymmab与焦点在y轴的2222x(0)ynnba共渐近线，它们离心率满足关系22111xyee准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离(焦准距)2bpc。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22ba.焦半径公式21|()|||aPFexaexc，22|()|||aPFexaexc，两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2FPFFPFSb。6双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax纯粹个人整理，盗版必须问我7（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.(4)焦点到渐近线的距离总是b。7双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.(2)过双曲线22221xyab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）双曲线22221xyab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.8抛物线pxy22的焦半径公式:抛物线22(0)ypxp焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122=22sinp9直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或222221211212(1)[()4]||1tan||1tABkxxxxxxyyco（弦端点A),(),,(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去y得到02cbxax0,