高考数学大题训练66

高考数学大题训练661（本小题满分13分）在△ABC中，已知3sin21cos2BB．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若2BC，4A，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）解法一：因为3sin21cos2BB，所以223sincos2sinBBB．……………3分因为0B，所以sin0B，从而tan3B，………………5分所以π3B．………………6分解法二：依题意得3sin2cos21BB，所以2sin(2)16B，即1sin(2)62B．……………3分因为0B，所以132666B，所以5266B．…………5分所以π3B．………………6分（Ⅱ）解法一：因为4A，π3B，根据正弦定理得sinsinACBCBA，……………7分所以sin6sinBCBACA．……………8分[来因为512CAB，……………9分所以562sinsinsin()12464C，………11分所以△ABC的面积133sin22SACBCC．………13分解法二：因为4A，π3B，根据正弦定理得sinsinACBCBA，…………7分所以sin6sinBCBACA．…………8分根据余弦定理得2222cosACABBCABBCB，…………9分化简为2220ABAB，解得13AB．…………11分所以△ABC的面积133sin22SABBCB．………13分2（本题12分）某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处.若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒.（不考虑水流速度等因素）（1）请分析救生员的选择是否正确；（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间.【答案】（1）从A处游向B处的时间)(2150223001st，而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处的时间)(200230063002stBDA300米C300米而2002150，所以救生员的选择是正确的.……4分（2）设CD=x，则AC=300-x,22300xBC，使救生员从A经C到B的时间3000,2300630022xxxt……………………6分290000261xxt，令275,0xt又0,300275;0,2750txtx，……………………9分知)(210050,275minstx……………………11分答：（略）3（本小题满分15分）已知函数f(x)＝－1＋23sinxcosx＋2cos2x.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．【答案】f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，(1)由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)(2)由sin(2x＋π6)＝0得2x＋π6＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ2－π12(k∈Z)，∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(－π12，0)．4（本小题满分12分）如图，角的始边OA落在x轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A、C(02），△AOB为等边三角形．（1）若点C的坐标为（43,55），求cos∠BOC的值；（2）设f2()||BC，求函数f（）的解析式和值域．5（本大题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60xy相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求OBOA的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。【答案】(1)解：由题意知12cea，∴22222214cabeaa，即2243ab又6311b，∴2243ab，故椭圆的方程为22143yx2分(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(4)ykx由22(4)143ykxyx得：2222(43)3264120kxkxk4分由2222(32)4(43)(6412)0kkk得：214k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则221212223264124343kkxxxxkk，①6分∴22212121212(4)(4)4()16yykxkxkxxkxxk6(本小题满分12分)若椭圆1E:2222111xyab和椭圆2E:2222221xyab满足2211(0)abmmab,则称这两个椭圆相似，m是相似比.(Ⅰ)求过(2,6)且与椭圆22142xy相似的椭圆的方程；(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B点（点A在线段OB上）.①若P是线段AB上的一点，若OA，OP，OB成等比数列，求P点的轨迹方程;②求OAOB的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)设与22142xy相似的椭圆的方程22221xyab.则有2222461abab……………………………3分解得2216,8ab.所求方程是221168xy.……………………………4分(Ⅱ)①当射线l的斜率不存在时(0,2),(0,22)AB,设点P坐标P(0,0)y,则204y,02y.即P(0,2).………………5分当射线l的斜率存在时，设其方程ykx,P(,)xy由11(,)Axy,22(,)Bxy则112211142ykxxy得2122212412412xkkyk2221||12kOAk同理2241||12kOBk………………………7分又点P在l上，则ykx，且由2222222222228(1)8(1)8()12212ykxyxxyykxyx,即所求方程是22184xy.又(0,2)适合方程,故所求椭圆的方程是22184xy.………………9分②由①可知,当l的斜率不存在时，||||2224OAOB,当l的斜率存在时,2228(1)4||||41212kOAOBkk,4||||8OAOB,………………11分综上,||||OAOB的最大值是8,最小值是4.………………12分7（本小题满分12分）已知)0,1(1F、)0,1(2F，圆2F：1)1(22yx，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆2F相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以1F，2F为焦点的椭圆．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且371PF，求曲线E的标准方程；（3）在（1）、（2）的条件下，直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为,xy)0(x因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆2F相外切，所以21CFx，………1分22(1)1xyx，化简整理得24yx，曲线C的方程为24yx)0(x；…3分（Ⅱ）依题意，1c，173PF,可得23px，…………4分253PF,又由椭圆定义得127524,233aPFPFa.…………5分2223bac，所以曲线E的标准方程为22143xy；…………6分（Ⅲ）（方法一）设直线l与椭圆E交点2211y,xB,y,xA，B,A的中点M的坐标为00y,x，设直线l方程为00m,kmkxy与13422yx联立得012484322mkmxk由034022mk-得①……8分由韦达定理得221438kkmxx0x2434kkm0y2433km将M(2434kkm,2433km)代入24yx整理得9)43(162kkm②…10分将②代入①得814316222kk令042tkt则081192642tt830t8686k且0k………12分（方法二）设直线l与椭圆E交点),(),,(2211yxByxA，BA,的中点M的坐标为00,yx，将BA,的坐标代入椭圆方程中，得012430124322222121yxyx两式相减得04321212121yyyyxxxx00212143yxxxyy，…………7分0204xy，直线AB的斜率02121163yxxyyk，…………8分由（Ⅱ）知23px，,3842ppxy∴362py由题设)0(36236200yy，86163860y，………10分即8686k0k.8（本小题满分12分）已知点0,1F，直线l：1y，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且FQFPQFQP．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点0,2D，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设1DAl，2DBl，求1221llll的最大值。【答案】（1）设,Pxy，则,1Qx，∵QPQFFPFQ，∴0,1,2,1,2yxxyx．即22121yxy，即24xy，所以动点P的轨迹C的方程24xy．（2）解：设圆M的圆心坐标为,Mab，则24ab．①圆M的半径为222MDab．圆M的方程为22222xaybab．令0y，则22222xabab，整理得，22440xaxb．②由①、②解得，2xa．不妨设2,0Aa，2,0Ba，∴2124la，2224la．∴22212124211221664llllalllla222448162216464aaaa，③当0a时，由③得，12221216162121226428llllaa≤．当且仅当22a时，等号成立．当0a时，由③得，12212llll．故当22a时，1221llll的最大值为22．9（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)xyabab的焦距为4，设右焦点为1F，离心率为e．（1）若22e，求椭圆的方程；（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，1AF的中点为M，1BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若3k，求e的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由22e，c=2，得22a，b=2,所求椭圆方程为22184xy.…………………………………………（4分）（Ⅱ）设00(,)Axy，则00(,)Bxy，故00+222xyM，，00222xyN，.①由题意，得0OMON.化简，得22004xy，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上.……………（8分）②设00(,)Axy，则002222200220022222222220000,1,111,(1)444ykxxkxxykkabababxkxxy.将2ceaa，222244bace，代入上式整理，得2242(21)21.keee因为42210ee，k20，所以2210e，所以4222213