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量子光学——Mars1量子光学目录第一节引言和量子力学基础第二节电磁场的量子化一、驻波形式二、行波形式第三节电磁场的量子态一、光子数态（一）、电磁场的真空涨落（二）、电磁场的正交分量算符二、相干态三、压缩态（一）、压缩真空态（二）、平移压缩真空态（三）、压缩相干态（四）、压缩态的产生（五）、压缩态的探测四、双模压缩真空态五、热光场态六、光学分束器及其对电磁场量子态的变换（一）、光学分束器的经典描述（二）、光学分束器的量子描述（三）、光学分束器对电磁场量子态的变换第四节电磁场量子态在相空间的准概率分布函数一、P-函数二、Q-函数三、Wigner函数四、特征函数第五节电磁场的相干性一、经典一阶相干函数二、量子一阶相干函数三、经典二阶相干函数四、量子二阶相干函数五、量子高阶相干函数第六节电磁场与原子的相互作用一、经典电磁场与原子的相互作用（一）、哈密顿量的一般形式（二）、单模电磁场与两能级原子的相互作用二、量子电磁场与原子的相互作用（一）、哈密顿量的一般形式（二）、单模量子电磁场与两能级原子的相互作用1．共振相互作用2．色散相互作用量子光学——Mars2第七节量子耗散和消相干一、量子跳跃理论二、消相干第八节腔量子电动力学和囚禁离子一、腔量子电动力学（一）、里德堡原子的有关性质（二）、耗散腔中二能级原子与单模腔场的相互作用（三）、JC模型的实验实现（四）、制备原子的纠缠态（五）、制备腔场的薛定谔猫态（六）、光子数的非破坏性测量二、囚禁离子（一）、利用囚禁离子实现JC模型第九节量子信息处理一、量子信息中的若干基本概念（一）经典比特与量子比特（二）量子态不可克隆定理（三）Bell态二、量子通信（一）量子密集编码（二）量子隐性传态（三）量子密钥分发三、量子计算（一）量子寄存器（二）量子逻辑门（三）量子算法（四）用量子光学方法实现若干量子逻辑门第十节本章结束语附录A：纯态、混合态、密度算符附录B：两态系统、泡利自旋算符附录C：复合系统、纠缠态、约化密度算符、vonNeumann熵参考文献量子光学——Mars3第一节引言量子光学是研究光场的量子性质以及光与物质相互作用的一门学科。传统的量子光学研究光场的量子统计性质、量子相干性质、以及量子光场与物质（主要是原子、离子、分子）的相互作用。近年来量子光学与其他学科相结合，产生了两个非常活跃的研究领域：量子信息科学（包括量子通信与量子计算等）和冷原子物理（包括离子和中性原子的激光冷却与囚禁、原子光学、玻色-爱因斯坦凝聚、相干原子波激射等）。本章介绍量子光学的基础知识以及近年来的主要研究动态。量子光学的内容大体上可分为下面几个部分：一、量子光学的基本内容：电磁场的量子化；电磁场的量子态：包括光子数态、相干态、压缩态、热光场态等；电磁场量子态的准概率分布函数：包括P函数、Q函数、Wigner函数等；电磁场的相干性：包括一阶相干性和高阶相干性；电磁场与原子的相互作用；耗散的量子理论及消相干性。二、在量子光学发展史上曾很活跃但目前已相对成熟的论题激光理论；光学双稳态；共振荧光和超荧光。三、量子光学与量子相干操纵腔量子电动力学与囚禁离子；原子相干和干涉效应（包括电磁感应透明、无反转激光等）。四、量子光学方法在量子力学研究中的应用量子态重构；量子非破坏性测量量子力学基本原理的量子光学方法检验。五、量子光学在交叉学科中的应用量子信息科学；冷原子物理。由于篇幅所限，本章对量子光学只作选择性的介绍：已相当成熟且自成体系的内容不予介绍（如第二部分内容）；虽然基本或活跃但占篇幅较大的内容不予介绍（如第一部分中的阻尼的量子理论、第五部分中的冷原子物理、以及第四部分中的大部分内容）。另外，我们不一定按上列次序进行介绍，有些内容将穿插进行。在本章昀后，我们将给出各部分的参考文献，以供有兴趣的读者参考。量子光学——Mars4量子力学（QM）基础一、QM的历史背景1900，Planck，黑体辐射，能量量子化：hεν=1905，Einstein,光电效应，光量子——光子Ehν=，hpλ=（hhEpccνλ===）1913，Bohr,原子光谱和原子结构，定态、；量子跃迁及频率条件：()/mnmnEEhν=−1923，deBroglie,物质粒子的波动性，物质波Ehν=，hpλ=1926,Schrodinger,波函数(),rtψ，波动方程-Schrodinger方程，波动力学1926，Born,波函数的统计诠释：()2,rtψ概率密度，()2,1drrtψ=∫1925，Heisenberg，矩阵力学1926，Dirac，量子力学的变换理论、表象理论ψ1927，Dirac，电磁场的量子化1928，Dirac，相对论性波动方程至此，量子力学的基本架构已建立，用其处理实际问题：原子、分子、固体等但是，关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论。1935，Schrodinger猫态1935，EPR佯谬1960前后，量子理论用于电磁场———量子光学1956，HanburyBrownandTwiss，强度关联实验1963，Glauber（2005年诺奖得主），光的量子相干性1963，Jaynes&Cummings,J-Cmodel,量子电磁场与原子的相互作用1962-1964，激光理论（Lamb,Haken,Laxetal）1970’s,光学瞬态、共振荧光1980’s，光学双稳态、光场非经典性质（群聚效应、亚泊松分布、压缩态）量子光学新发展：原子的激光冷却、量子信息二、量子力学的基本假设（原理）1．状态的描述：态矢量：右矢ψ态叠加原理：1122ccψψψ=+，nnncψψ=∑量子光学——Mars5左矢()ψψ+=态矢量的内积：ψϕ态的正交性：0ψϕ=态的归一化：1ψψ=2．力学量的描述：算符线性算符：11221122FcccFcFψψψψ+=+⎡⎤⎣⎦算符F的厄密共轭算符：F+可观测的力学量——线性厄密算符，FF+=算符的本征方程、本征值和本征态：nnnAAψψ=线性厄密算符具有下列性质：1）本征值为实数；2）属于不同本征值的本征矢彼此正交：0mnψψ=；正交归一性：mnmnψψδ=连续变量：()''xxxxδ=−3）本征矢张起一个完备的矢量空间：nnnIψψ=∑，任意态矢量ψ可以用算符的本征态nψ展开：nnncψψ=∑。连续变量：dxxxI=∫算符A在量子态ψ中的期望值（平均值）：AAψψ=设nnncψψ=∑，则*nnncψψ=∑2*,mnmnnnmnnAAccAcAψψψψ===∑∑3．状态随时间的演化：Schrodinger方程()()ditHtdtψψ=若H不含时间，则()()()0tUtψψ=，()expiUtHt⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，时间演化算符，幺正演化。量子光学——Mars64．量子力学中的测量问题a)设算符A的本征方程为nnnAAψψ=，若系统处于算符A的本征态nψ，则测量力学量A得到相应的本征值nA，测量后系统仍处于本征态nψ；若系统处于任意态nnncψψ=∑，则测量力学量A时以概率2nc得到本征值nA，若测量得到本征值nA，则测量后系统塌缩到相应的本征态nψ。b)若两个力学量算符A和B彼此对易，即[],0ABABBA≡−=，则A和B具有共同本征态，可以同时具有确定值；若A和B彼此不对易，即[],0AB≠，则A和B不具有共同本征态，他们不能同时具有确定值，其不确定度服从不确定性原理：[]1,2ABABΔ⋅Δ≥，其中22AAAΔ=−。5．全同粒子假设三、态矢量和算符的矩阵表示、表象及表象变换设有力学量算符A，其正交归一的本征态为{}nψ，{}nψ张起一个完备的矢量空间，用这个空间的矢量表示量子态和算符，称为A表象。1．态矢量在A表象中的表示设有任意态矢量ψ，nnnnnncψψψψψ==∑∑nncψψ=是态矢量ψ沿基矢nψ的分量（投影）。列矢量12...ccψ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠称为态矢量ψ在A表象中的表示。选定一组基矢——选定一个表象。——选定一组单位矢量——选定一个坐标系。在连续变量表象()dxxxdxxxψψψ==∫∫，()*dxxxψψ=∫其中()xxψψ=是态矢ψ在x表象中的表示——波函数量子光学——Mars7()()()()()()()()**2*''''''1dxdxxxxxdxdxxxxxdxxxdxxψψψψδψψψψψ==−===∫∫∫∫∫∫2．算符在A表象中的表示设有任意算符F，,,mmnnmnmnmnmnmnmnmnFFFFψψψψψψψψψψ===∑∑∑∑其中矩阵mnmnFFψψ=称为算符F在A表象中的表示。3．表象变换设有两个表象A和B，其基矢分别为{}nA、{}mB。（1）态矢的表象变换nnnnnnAAaAψψ==∑∑，nnaAψ=mmmmmmBBbBψψ==∑∑，mmbBψ=mmmnnmnnmnnnnnbBBAASASaψψψ====∑∑∑，mnmnSBA=简写成()()BSAψψ=矩阵{}mnSS=称为从表象A到表象B的变换矩阵。容易证明，{}mnSS=为幺正矩阵，表明态矢在不同表象的变换为幺正变换。证明：SSI+=()**mkknkmknkmknmkknmnmnmnkkkkSSSSSSBABAABBAAAδ++======∑∑∑∑（2）算符的表象变换()()*,,mnmnmkkllnmkklnlklklFBBFBBAAFAABSFAS===∑∑即()()FBSFAS+=表明算符在不同表象的变换为相似变换。4．幺正变换的性质用U（unitary）代替S表示幺正矩阵，带‘号和不带‘号分别表示不同的表象。量子光学——Mars8（1）幺正变换不改变两个态矢的内积设','UUψψφφ==则''UUψφψφψφ+==特例：''ψψψψ=，即幺正变换不改变态矢的模。（2）幺正变换不改变算符的本征值设ˆFFψψ=则ˆˆˆ'''FUFUUUFFUFψψψψψ+====（3）幺正变换不改变算符的迹()()()'TrFTrUFUTrF+==（4）幺正变换不改变算符的矩阵元'''FUUFUUFφψφψφψ++==（5）幺正变换不改变算符的线性性质和厄密性设()11221122FcccFcFψψψψ+=+则()11221122'''''''FcccFcFψψψψ+=+设FF+=则()()''FUFUUFUUFUF++++++====（6）幺正变换不改变算符之间的代数关系设MFG=则'''MUMUUFGUUFUUGUFG++++====四、纯态、混合态、密度算符在量子力学中有两大类量子态，其中一类可以用态矢量ψ表示，这类量子态称为纯态。另外一种情况是，体系并不处于某个确定的纯态，而是以不同的概率Pψ处于不同的纯态ψ，这类量子态称为混合态，他们不能用态矢量表示，而要用下面的密度算符描述msPψψρψψ=∑（11-A-1）其下标“ms”表示混合态（mixedstates）。Pψ为实数，表示纯态ψ在混合态msρ中出现的概率，满足1Pψψ=∑。当然，在形式上，纯态ψ也可用下面的密度算符描述量子光学——Mars9ρψψ=（11-A-2）不难证明，纯态的密度算符ρ具有下列性质：（一）、厄密性：ρρ+=（11-A-3）（二）、正定性：在任意态φ中，有0φρφ≥（11-A-4）（三）、幺迹性1Trρ=（11-A-5）（四）、幂等性2ρρ=（11-A-6）而混合态的密度算符msρ满足厄密性、正定性、幺迹性，但不满足幂等性，即22msijiijjiiimsijiPPPρψψψψψψρ==≠∑∑∑（11-A-7）另外，221msiiTrPρ=≤∑（11-A-8）式中等号对应于纯态。在任意纯态ψ中，任意力学量算符A的平均值为()()AATrATrAψψψψρ===（11-A-9）在任意混合态msρ中，任意力学量算符A的平均值为()msATrATrPAPAPAψψψψψψψρψψψψ⎛⎞====⎜⎟⎝⎠∑∑∑（11-A-10）式中AAψψψ=表示在纯态ψ中的平均值。可见，在混合态中的平均值为两重平均，其一为量子力学平均，另一为经典统计平均。注意不要将混合态与叠加态形式的纯态相混淆。设有某力学量的一组完备本征态nψ，则任意