关于汽车保险费用的研究

关于汽车保险费用的研究摘要本文就政府实行“安全带”法规后，因事故死亡率降低，而引起的汽车保险费用变化问题进行研究。结合汽车保险的相关知识，我们从保险公司的角度，分析其所需赔偿费受法规影响后的变化，计算人均所需赔偿费用，如果其降低，意味着人均风险的下降，保险公司所需要的支出也将下降，本着公平考虑保险公司和投保人的利益互惠，汽车保险的费用也将存在降低的可能性。在建模过程中，通过查阅书籍，我们对模型进行合理的假设使问题简单化，通过对基本保险费变化与死亡率下降的关系来分析讨论，回答题目的保险费变化的问题。关键字：基本保险费泊松分布目录摘要.............................................................................................................11.问题重述............................................................................................32.问题分析............................................................................................33.合理假设............................................................................................34.变量声明............................................................................................45.模型建立............................................................................................45.1未颁布法规情况下次年基本保险费估算..............................45.2颁布法规情况下次年基本保险费估算..................................76.模型求解及结果分析.......................................................................77.模型评价............................................................................................9参考书目.....................................................................................................91.问题重述某公司只提供一年期的综合保险单，这一年里，若没有要求赔偿，则给予额外补助。顾家（即参加保险的人）被分为0、1、2、3四类。类别越高，从保险中得到的折扣越多。计算保险费时，新顾客通常属于0类，在顾客延续其保险单时，若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别；若在上一年内要求过赔偿，如有可能则降低两个类别，否则为0类。顾家退出保险，不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还给保险的适当的部分。当前，公众观众的关注的热点问题市政府提出实行“安全带”法规，这种法规施行，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中的受伤司机和随乘人员肯定会减少，从而医疗费会减少,这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果果真会出现吗？而这也正是保险公司及顾家共同关心的问题。对于采用安全带的法规结果数据统计结果表明：死亡的司机减少40%，我们所要研究的就是在这样的前提下，基本保费是否可以降低，以便照顾到公司及顾家双方的利益不受损。2.问题分析由于政府实施安全带法规，死亡的司机会减少40%。如果该保险公司的基本保险费保持不变，那么由于死亡人数减少，从而导致索赔支出明显减少，那么该保险公司的盈利就会明显增加，所以政府期望减少保险费的数额，我们只要建立一个模型估算出下一年的事故赔偿费总额和总投保人数，最后通过得到的各类的净保费以及已知的该类的无赔偿保险费优惠率（折扣率）就可计算得到基本保险费。3.合理假设1)保险公司只提供一年期的保险单,保险公司下一年的保险费预算只与基本险有关，而与附加险无关。2)若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助。3)客户被分成0，1，2，3类，新客户属于0类。4)当客户续保时，若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别，若上一年中要求过赔偿，则降低两个类别或0类。5)客户注销时保险公司将退还保险金的适当部分。6)每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和。7)注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和。8)每一类别的没有索赔补比例（所交保险费的折扣率）不变。9)自动终止保险人数与总投保人数比例不变。10)死亡司机人数与索赔人数比例不变。11)新车使用三年后报销，即三年后的自动退保人数等于三年前的新投保人数。且每年的新投保人数按等比例增长。12)下一年的平均死亡赔偿费不变。13)下一年的平均修理费不变。14)下一年的平均医疗费不变。15)下一年的平均偿还退回的保险金额不变。16)颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。17)注销人平均所得到的偿还退回金金额不变。4.变量声明1)n：本年投保人数2)m：未颁布法规情况下次年投保人数3)bm:颁布法规情况下次年投保人数4)Q：法规未颁布情况下的次年费用5)BQ：颁布法规情况下的次年费用6)q：法规未颁布情况下的次年费用7)qb：法规颁布情况下的次年费用8)Y：未颁布法规情况下每年基本保险费9)BY：颁布法规情况下每年基本保险费10)ω:新投保人数的增长比例。11)c：未颁布法规情况下投保人所承担的平均事故赔偿费（即净保费）12)bc：颁布法规情况下投保人所承担的平均事故赔偿费（即净保费）13)r：未颁布法规情况下投保人中没有要求索赔的人所占的比例（即所交基本保险费的折扣率）14)br：颁布法规情况下投保人中没有要求索赔的人所占的比例（即所交基本保险费的折扣率）15)i：取0,1,2,3，代表0,1,2,3类其中上述符号可以有下标。下标“m”表示总投保人数或总索赔费用，“xi”表示第i类续保人数，“n”表示新投保人数，“z”表示注销人数，“s”表示索赔人数，“w”表示死亡人数或者死亡赔偿费，“x”表示修理费，“y”表示医疗费，“t”表示自动退保人中索赔过的人数。5.模型建立5.1未颁布法规情况下次年基本保险费估算根据假设次年3类总投保人数为：3类总投保人数=3类续保人数—3类注销人数—3类降为1类的人数（索赔人数）+3类注销人中索赔过的人数（包括3类死亡人数和3类自动退保人中索赔过的人数）（因为索赔人数和注销人数中都包括这部份人）+2类升为3类的人数。而2类升为3类的人数=2类续保人数—2类注销人数—2类索赔人数+2类死亡人数，即：mm3=nx3−nz3−ns3+nw3+nt3+nx2−nz2−ns2+nw2次年2类总投保人数为：2类总投保人数=1类升为2类的人数=1类续保人数—1类注销人数—1类降为0类的人数（即索赔人数）+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即：mm2=nx1−nz1−ns1+nw1+nt1次年1类总投保人数为：1类总投保人数=0类升为1类的人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类降为1类的人数（3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数），即：mm1=nm0−nz0−ns0+nw0+nt0+ns3−nw3−nt3次年0类总投保人数为：0类总投保人数=0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数）+2类降为1类的人数（2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数）+下一年的新投保人数，即：mm0=ns0−nw0−nt0+ns1−nw1−nt1+ns2−ns0−nt2+mn由假设得下一年的死亡人数与索赔人数成比例，即：mwi=msikwi由假设可得：下一年的自动退保人数与总投保人数成比例；再由假设可得：注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和。即：mzi=mmikzi+mwi对于i类总投保人数中的每一个人，因为它服从泊松分布，所以它索赔k次的概率p为：!)()(kekKpkii)0(i所以，它至少索赔一次的概率为：ieKpKpiii)0(1)1(所以在min个人中有x个人向保险公司索赔的概率为：knknxnixixnieeCCxp)()1()1()(索赔人数用它的期望来表示，为：)1(])([1iminxisienxxpnmi所以：)ln(lnsimimiinnn由上所述可得到次年第i类索赔人数与总投保人数的关系为：)1(iemmmisi由假设可得：次年的新投保人数等于这一年的新投保人数与等比例系数之积为：nnnm所以，第i类总的死亡赔偿费可表示为：wiwiwiqnQ总的修理费用可表示为：xixixiqnQ总的医疗费可表示为：yiwisiyiqnnQ)（总赔偿费=总死亡赔偿费+总修理费+总医疗费，即：yixiwisiQQQQ总的偿还退回金额等于人均退回金额与自动退出保险人数之积，即：)(wizicicinnqQ根据以上各式，可得各类投保人人均所承担的事故赔偿费=（该类总赔偿费+该类总偿还退回金额）∕该类总投保人数，即：miciziinQQc)(次年基本保险费Y，可用各类人均事故赔偿费（即各类的净保费）和各类的保险费折扣率表示为：miiimiiimcmrY3030)1(所以，Y为：miiimiiimrmcY)1()(30305.2颁布法规情况下次年基本保险费估算根据假设，法规颁布前后有下列因素不变：新投保人数，各类别总的投保人数，平均修理费，平均医疗费，平均死亡赔偿费，所以有：bmn=mn，bmmi=mmi，wqb=wq，xqb=xq，yqb=yq法规颁布后变动的因素有：死亡人数，索赔人数，注销人数，他们的变动情况可用下列三个式子所示：颁布了法规后，每个类别的死亡司机数都比法规颁布前减少了40%。可得：bmwi=mwi×60%由假设，死亡人数和索赔人数比例不变，可得：bmsi=bmwi÷kwi=（mwi×60%）÷kwi=msi×60%因为注销人数等于自动退出人数和死亡人数之和，在死亡人数百年东的情况下，注销人数可表示为：bmzi=mzi-mwi×40%由假设得下一年的死亡人数与索赔人数成比例，即：mwi=msikwi由假设可得：下一年的自动退保人数与总投保人数成比例；再由假设可得：注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和。即：mzi=mmikzi+mwi次年基本保险费Y，可用各类人均事故赔偿费（即各类的净保费）和各类的保险费折扣率表示为：miiimiiibmbcbmbrBY3030)1(所以，Y为：miiimiiibmbrbmbcBY)1()(30306.模型求解及结果分析根据题目所提供的表的数据，代入模型进行求解。首先，求解ω。根据假设可得：1996年新投保人数等于2000年的自动退保人数，为：索赔人数―死亡人数=340221。1997到2000年的新投保人数按等比例增长，因此有：340221×ω4=384620。所以等比例ω=103.1％。其次，求解自动退保中的索赔人数，解法如下所示：设第i类中某人在该年的第K天自动退出,则该人在前K