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锐角三角函数本章内容第4章正弦和余弦本课内容本节内容4.1子目内容4.1.1正弦返回上图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法测量出该塔的高度吗？测量高度或者距离之类的问题，一般可以用本章锐角三角函数的知识来解决．画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是相等（精确到0.01）的吗？问题一065=?的对边斜边由问题一猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于.1011问题二这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？你能想办法利用已学的知识证明吗？有的同学已想到用相似证明，请看问题三.如图4－2，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？BCEF=ABDE∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF.∴即BCAB=EFDEBCEF=ABDE问题三在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，对于锐角α的每一个确定的值,角α的对边与斜边的比都有唯一确定的值与它对应，所以可把角α的对边与斜边的比值看成角α的函数.归纳通过上面三个问题的探讨，谈谈你的收获是什么？结论定义在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦函数，记作sinα，即角的对边斜边sin=.1.sina是在直角三角形中定义的,∠a是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sina是一个完整的符号,如：sina不是sin与a的乘积,而是一个整体,表示∠a的正弦。3.sina是线段的一个比值.注意比的顺序,且0﹤sina﹤1,无单位.4.sina的大小只与∠a的大小有关,而与直角三角形的边长无关.说明角的对边斜边sin=.例1如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.（1）求sinA的值；图4-3解:∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是3sin5A=.（2）求sinB的值．解:∠B的对边AC，根据勾股定理，得图4-3AC2=AB2-BC2=52-32=16.于是AC=4.因此4sin5B=.练习1.如图4-4，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．答：513.答：1213.图4-42.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：平面直角坐标系内点P的坐标为（3，4），连接OP，由勾股定理得OP=5,角α的对边是直角边，边长为4，而斜边长OP为5，∴3sin5a=.在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？若设30°角所对的直角边为1，则斜边的值是多少？在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.问题四如何求sin30°和sin60°的值？解:在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°.1sin302BC==.AB因此于是∠A的对边BC=AB.123sin602AC==.AB32AC=AB.于是因此根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-221324AB=AB.又，∠B的对边是AC.903060B==-问题五如何求sin45°的值？解:如图4-6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°.从而AC=BC.根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.1122sin452222BC====.AB··于是AB=BC.因此2图4-6问题六通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，则可以利用计算器来求.例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键，sin50的显示结果为0.7660….如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知sinα=0.7071，依次按键，2ndFsin0.7071显示结果为44.999…，表示角α约等于45°.例2计算：解:原式=20020sin302sin45sin602212322221314401.直角三角形中，角a的正弦函数等于哪两边之比呢？2.直角三角形中，sina值的范围是什么？3.学习角a的正弦函数时，用到了什么主要的数学思想方法？小结例1（2012滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定13中考试题A中考试题例2（2012内江）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA()12551010255A．B.C.D.．B例3直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则sin∠CBE的值是多少？CBA68CBAED中考试题解：sin∠CBE=7.25