搜索
12013年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）（2013•盐城一模）已知集合U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1}，则∁UA={0，2}．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的概念进行运算．解答：解：由U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1}，所以∁UA={0，2}．故答案为{0，2}．点评：本题考查了补集的概念及运算，是基础的会考题型．2．（5分）（2013•盐城一模）复数（1﹣2i）2的共轭复数是﹣3+4i．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先利用两个复数代数形式的乘法法则求得z，再根据共轭复数的定义求得它的共轭复数．解答：解：∵复数（1﹣2i）2=1﹣4i+4i2=﹣3﹣4i，故复数（1﹣2i）2的共轭复数是﹣3+4i，故答案为﹣3+4i．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2013•盐城一模）已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2=0.8．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：先计算数据的平均数，然后利用方差公式直接计算即可．解答：解：8，9，10，10，8的平均分为9∴该组数据的方差s2=[（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]==0.8故答案为：0.8点评：本题主要考查了方差公式，解题的关键是正确运用方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）（2013•盐城一模）袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为．2考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．解答：解：从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有CC种情况是两个球颜色不相同；故其概率是==．故答案为：．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．（5分）（2013•盐城一模）在等差数列{an}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为27．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件可得3a5=9，由此可得a5的值，再根据前9项和S9==9a5求得结果．解答：解：在等差数列{an}中，若a3+a5+a7=9，故有3a5=9，a5=3．则其前9项和S9==9a5=27，故答案为27．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．6．（5分）（2013•盐城一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为26．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=6时，z=2x+3y取得最大值26．3解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=26故答案为：26点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．（5分）（2013•盐城一模）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是3．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当s＜15时，用s+n的值代替s得到新的s值，并且用n﹣1代替n值得到新的n值，直到条件不能满足时结束循环体并输出最后的值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环，因为s=0＜15，所以得到新的S=0+6=6，n=5；然后经过第二次循环，因为s=6＜15，所以得到新的S=6+5=11，n=4；然后经过第三次循环，因为s=11＜15，所以得到新的S=11+4=15，n=3；接下来判断：因为s=15，不满足s＜15，所以结束循环体并输出最后的n，综上所述，可得最后输出的结果是3故答案为：3点评：本题给出程序框图，求最后输出的n值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件4判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．8．（5分）（2013•盐城一模）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，变换后所得函数的解析式为y=sin（2x+2ϕ﹣]，再由它是奇函数，可得2ϕ﹣=kπ，k∈z，由此求得ϕ的最小值．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+ϕ）﹣]=sin（2x+2ϕ﹣]，再由y=sin（2x+2ϕ﹣]为奇函数，可得2ϕ﹣=kπ，k∈z，则ϕ的最小值为，故答案为．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于中档题．9．（5分）（2013•盐城一模）现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．则所有真命题的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：①过平面外一点可作唯一一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有无数条直线与该平面平行；③由平面与平面平行的性质定理可得；④由平面与平面垂直的性质定理可得．解答：解：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行，错误，应该是有无数条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，正确，由平面与平面平行的性质定理可得；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必5在第一个平面内，正确，由平面与平面垂直的性质定理可得．故答案为：①③④点评：本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面的位置关系，属基础题．10．（5分）（2013•盐城一模）在△ABC中，若9cos2A﹣4cos2B=5，则的值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件9cos2A﹣4cos2B=5利用二倍角公式求得=，再由正弦定理可得=，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，∵9cos2A﹣4cos2B=5，∴9（1﹣2sin2A）﹣4（1﹣2sin2B）=5，化简可得9sin2A=4sin2B，故有=．由正弦定理可得==，故答案为．点评：本题主要考查二倍角公式、正弦定理的应用，属于中档题．11．（5分）（2013•盐城一模）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，，=，若=，则=0．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：在等腰三角形ABC中，底边BC=2，因此可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．利用向量的坐标运算解决共线与数量积即可得出答案．解答：解：∵在等腰三角形ABC中，底边BC=2，∴可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．则B（﹣1，0），C（1，0），设A（0，a）（a＞0）．∵，∴D．6∴=，=（1，﹣a）．∵=，∴，解得．∴．∵，∴，∴==．∴．∴===0．故答案为0．点评：熟练掌握通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决共线和数量积是解题的关键．12．（5分）（2013•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的性质：当|PF2|=a+c=，时，即取得最大值，即可得出．解答：解：∵椭圆，∴a=，b=2=c．7设k==，则当|PF1|=|PF2|时，k取得最小值0；当|PF2|=a+c=，时，即时，k=取得最大值．∴k的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的性质：当|PF2|=a+c=，时，则取得最大值是解题的关键．13．（5分）（2013•盐城一模）已知向量a=（sinωx，cosωx），b=（cosωx，﹣cosωx），（ω＞0），函数的图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求ω值；（2）若时，，求cos4x的值；（3）若，x∈（0，π），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．考点：三角函数的周期性及其求法；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用两相邻对称轴间的距离求得函数的周期，进而根据周期公式求得ω．（2）根据（1）中整理函数解析式，依据和同角三角函数的基本关系求得cos（4x﹣）的值，进而根据利用两角和公式求得答案．（3）根据和余弦函数的单调性求得x的范围，令g（x）=m，则可作出，f（x）和g（x）的图象，利用数形结合的方法求得m的值．解答：解：由题意，=8==，（1）∵两相邻对称轴间的距离为，∴，∴ω=2．（2）由（1）得，，∵，∴，∴，∴===．（3）∵，且余弦函数在（0，π）上是减函数，∴，令=，g（x）=m，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，可知m=1或m=﹣．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式的化简求值，正弦函数和余弦函数的单调性．考查了三角函数基础知识的综合运用．14．（5分）（2013•盐城一模）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx（k＞0）有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g（t）=﹣6t+7的值域为[﹣，﹣1）．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=kx，因为两图象有且仅有四个公共点，得出最大根t的取值范围．再利用二次函数的性质，即可得到函数g（t）=9﹣6t+7的值域．解答：解：作出函数f（x）=，当0≤x＜4时的图象，如右图中红色的三个半圆．将直线y=kx围绕坐标原点进行旋转，可得当直线介于与第二个半圆相切和与第三个半圆相切之间时，两图象有且仅有四个不同的公共点，此时，其最大根t∈（，），则函数g（t）=﹣6t+7，t∈（，）的值域为[﹣，﹣1）．故答案为：[﹣，﹣1）．点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根，并且用这个根来求值域，着重考查了函数与方程的关系，以及数形结合思想，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）（2013•盐城一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据直棱柱的性质判定线线平行，再由线线平行证线面平行即可；10（2）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可．解答：证明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，又EF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD．（2）∵三棱柱ABC﹣A